Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Программа, по которой это посчитано:

(PARI)

{print();
t0=getwalltime();
fpr = 71; n = vecprod(primes([2,fpr]));
pp=vector(97); Li=vector(4); summc=vector(4);
Li[2] = 1.0451637801174927848445888891946131365;
Li[4] = 1246.1372158993884596927711075290597925;
spis = [ 1, 2, 3, 5, 6, 7,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23,26,29,30,31,33,34,35,37,38,39,41,42,43,46,47,51,53,55,57,58,59,61,62,65,66,67,69,70,71,73,74,77,78,79,82,83,85,86,87,89,91,93,94,95 ];
mu   = [ 1,-1,-1,-1, 1,-1, 1,-1,-1, 1, 1,-1,-1, 1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1, 1, 1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1,-1, 1,-1, 1, 1, 1,-1,-1, 1, 1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1, 1,-1,-1, 1,-1, 1, 1, 1,-1, 1, 1, 1, 1 ];
print(fpr,"#");
print();
for(i=1, #spis,
po=spis[i];
x=n^(1/po);
if (x < 2, next,
if ( x >= 10^4,
c1 = Li[4] + intnum(t = 10^4, x, 1/log(t)),
c1 = Li[2] + intnum(t = 2, x, 1/log(t)));
c3 = -log(2);
c4 = intnum(t = x, oo, 1/t/(t^2-1)/log(t));
mc1 = mu[i]/po*c1; summc[1]+=mc1;
mc3 = mu[i]/po*c3; summc[3]+=mc3;
mc4 = mu[i]/po*c4; summc[4]+=mc4;
printf("%u                     %0.5f                            %0.5f       %0.5f\n",po,mc1,mc3,mc4);
));
print();
printf("%0.5f     %0.5f      %0.5f       %0.5f\n",summc[1],pp[fpr]-(summc[1]+summc[3]+summc[4]),summc[3],summc[4]);
print();
print(summc[1]+summc[3]+summc[4]);
print();
}quit;

Поскольку нами уже было замечено, что PARI весьма неточно считает интегралы для маленьких границ, пришлось вплоть до 1e4 прибегнуть к ухищрениям, в том числе считать на Вольфрам Альфе. Здесь Li[2] это и есть Li(2), но вот Li[4] это Li(1e4). При счёте от 1e4 уже было совпадение всех 38 знаков.

И все знаки с книжными совпали:

https://www.phantastike.com/math/prime_obsession/djvu/view/

Страница примерно 400-я. Примерно — потому что разная нумерация.

[Dmitriy40]

Э, не забываем что интегральный логарифм завышает количество простых, как раз где-то на 330 миллиардов около 5e26.

Насчёт формулы для паттернов я сомневаюсь - тогда бы получив её для паттерна 0,2 доказали бы бесконечность близнецов - но может из формулы не получить асимптотику и она полезна лишь для конечных интервалов ... Пробуйте, очень интересно посмотреть. Но вообще это задача для Дт(М) (даже не ПРР).

Книжку я уже утром скачал и стал читать, правда подряд, хоть пока почти всё и известно.

-- 04.04.2025, 12:33 --

Кстати из кода в OEIS узнал про real(-eint1(-log(n))=li(n) в PARI. Чтобы не выписывать сам интеграл intnum().

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681034 писал(а):

не забываем что интегральный логарифм завышает количество простых, как раз где-то на 330 миллиардов около 5e26.

Не понял к чему это сказано. Это ведь как раз и неизвестно насколько он завышает, потому что неизвестно точное количество простых от нуля до 5e26.

Dmitriy40 в сообщении #1681034 писал(а):

полезна лишь для конечных интервалов ... Пробуйте, очень интересно посмотреть. Но вообще это задача для Дт(М) (даже не ПРР).

Пока что речь именно о конечных интервалах. Всё-таки склоняюсь к ПР/Р.

Dmitriy40 в сообщении #1681034 писал(а):

Книжку я уже утром скачал и стал читать, правда подряд, хоть пока почти всё и известно.

Надо же, особо и не сомневался, что Вы её читали раньше. Тогда правильно, надо читать подряд, хотя разжевывание порой избыточное.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681045 писал(а):

Не понял к чему это сказано. Это ведь как раз и неизвестно насколько он завышает, потому что неизвестно точное количество простых от нуля до 5e26.

Вообще-то таблицы $\pi()$ есть до $10^{29}$. И насколько понимаю посчитаны они примерно как Вы и собираетесь, по неким формулам (я просто не разбирался), не интегральным логарифмом (или не только им). Соответственно и величины завышения тоже есть до $10^{29}$. Вот как пример какие алгоритмы использует primecount:

  -d, --deleglise-rivat  Count primes using the Deleglise-Rivat algorithm
  -g, --gourdon          Count primes using Xavier Gourdon's algorithm.
                         This is the default algorithm.
  -l, --legendre         Count primes using Legendre's formula
      --lehmer           Count primes using Lehmer's formula
      --lmo              Count primes using Lagarias-Miller-Odlyzko
  -m, --meissel          Count primes using Meissel's formula
      --Li               Approximate pi(x) using the logarithmic integral
      --Li-inverse       Approximate the nth prime using Li^-1(x)
  -n, --nth-prime        Calculate the nth prime
  -p, --primesieve       Count primes using the sieve of Eratosthenes
      --phi <X> <A>      phi(x, a) counts the numbers <= x that are not
                         divisible by any of the first a primes
      --Ri               Approximate pi(x) using Riemann R
      --Ri-inverse       Approximate the nth prime using Ri^-1(x)

Алгоритмом по умолчанию считает долго (даже многопоточно), $\pi(10^{20})$ порядка минут, другие алгоритмы не проверял.

Yadryara в сообщении #1681045 писал(а):

Надо же, особо и не сомневался, что Вы её читали раньше.

Похоже нет, я же даже близко не математик, да и проблематика вычисления $\pi()$ (и тем более гипотеза Римана) мне недоступна.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681056 писал(а):

Вообще-то таблицы $\pi()$ есть до $10^{29}$.

Ну да, и в той же моей ссылке на Вики есть от нуля до всех степеней 10-ки до 29 включительно. Можно и в OEIS заглянуть. Если б gris заглянул, да повнимательнее, то и не стал бы писать, что $\pi(10^{29})$ нашли в этом году. Ведь чётко сказано что в начале 2022-го.

Но интересует-то не 1e29, а 5e26 и 6e26 в качестве соседей, а на самом деле 71#.

Dmitriy40 в сообщении #1681056 писал(а):

Вот как пример какие алгоритмы использует primecount:

И среди них нет того самого, не комбинаторного, а аналитического FKBJ17. (Давал ссылку на него в теме в ПР/Р)

Я хочу понять как считать по нему потому что понимаю как считать по формуле Римана, а он на ней основан.

Где брать нули вроде знаю.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1681070 писал(а):

Но интересует-то не 1e29, а 5e26 и 6e26 в качестве соседей, а на самом деле 71#.

Интерполяцией. Кроме $\pi(10^n)$ есть таблицы $\pi(2^n)$, они покрывают и $71\#$ ($2^{89}$ всего на 11% больше $71\#$). А точность интерполяции оценить по известным значениям для $53\#, 59\#, 61\#, 67\#, 10^{20\ldots27}$. Это если задаться целью посчитать именно приближённое значение $\pi(71\#)$. Впрочем я так понимаю задача другая, эта лишь как тренировка.

-- 04.04.2025, 16:20 --

И кстати.

Yadryara в сообщении #1681025 писал(а):

Поскольку нами уже было замечено, что PARI весьма неточно считает интегралы для маленьких границ,

Это не так. Это не PARI криво считает интегралы, а лишь аппроксимация (асимптота, в смысле не прямой, а функции) по HL1 расходится с реальными значениями на начальном участке, что вполне нормально для асимптоты. Интегралы при этом правильные и PARI не виноват.

[Yadryara]

Ну вот стоило не написать ещё раз слово "точное" и пошло поехало...

Dmitriy40 в сообщении #1681034 писал(а):

не забываем что интегральный логарифм завышает количество простых, как раз где-то на 330 миллиардов около 5e26.

Мы не знаем (пока) точное значение $\pi(5\cdot10^{26})$. Стало быть не знаем насколько завышает.

Для $\pi(10^{6})$ — знаем: 78498. И знаем превышение:

$Li(10^{6})-\pi(10^{6})= 129.549159462181919862910747947261161...$

Тренироваться лучше на меньших числах. Только пока непонятно как.