Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

Хм, если так, то да, получается (хотя мнимая часть всё равно не совпадает, но она потом сокращается):

? -eint1(-log(20^(1/2+I*14.1347251417346937904572519835625)))
%1 = 1.9979692368474822688136820603245564820 + 0.77224977227477630516373401329504663721*I
? -eint1(-log(20)*(1/2+I*14.1347251417346937904572519835625))
%2 = -0.10538404386093955583446841960202226278 - 0.0058948235763427200091373207773225459570*I
? -log(20)*(1/2+I*14.1347251417346937904572519835625)
%3 = -1.4978661367769954967176117880712703878 - 42.343852284909631815048923573555448673*I
? -log(20^(1/2+I*14.1347251417346937904572519835625))
%4 = -1.4978661367769954967176117880712703878 + 1.6384448653474735234280837923575917053*I

Только почему $\ln(x^a) \ne a\ln(x)$ непонятно, неужели для комплексных чисел оно неточное?!

Ну тогда можно и добавить вычисление второго члена, но его точность будет никакая, 4-5 значащих цифр (не хранить или скачивать миллиарды нулей же), а надо 10-12 (чтобы перекрыть превышение $li(x)-\pi(x)$).

-- 05.04.2025, 19:36 --

Сделал подсчёт второго члена, точность даже для n=1e6 никакая, первый миллион нулей дзета-функции даёт погрешность уже в 4-м знаке, -29.75047 вместо -29.74435 в книге:

Используется синтаксис Text

  1:                          78627.54916             -29.75047         -0.69315          0.00000  =                         78597.10555
  2:                            -88.80483               0.11049          0.34657         -0.00000  =                           -88.34776
  3:                            -10.04205               0.29990          0.23105         -0.00000  =                            -9.51110
  5:                             -1.69303               0.08786          0.13863         -0.00012  =                            -1.46667
  6:                              1.02760              -0.02349         -0.11552          0.00031  =                             0.88889
  7:                             -0.69393              -0.04737          0.09902         -0.00058  =                            -0.64286
 10:                              0.29539              -0.02791         -0.06931          0.00183  =                             0.20000
 11:                             -0.23615              -0.00634          0.06301         -0.00234  =                            -0.18182
 13:                             -0.15890               0.03206          0.05332         -0.00340  =                            -0.07692
 14:                              0.13281              -0.01581         -0.04951          0.00394  =                             0.07143
 15:                              0.11202              -0.00362         -0.04621          0.00448  =                             0.06667
 17:                             -0.08133              -0.01272          0.04077         -0.00554  =                            -0.05882
 19:                             -0.06013              -0.02241          0.03648         -0.00657  =                            -0.05263
78497.993950511489968878366452848199913
78498\\Точное значение

Реально считать по нулям дзета-функции нужно лишь один раз, в первой строке, в остальных можно вычислять сразу $j(x)$ (справа, сумма колонок в каждой строке) через известные значения $\pi(t)$ в её разложении. До 1e8 хорошо работает primepi(), выше быстро считает primecount, а выше 1e38 (квадрат 1e19 из второй строки) нас числа и не интересуют.

Но вот с нулями дзета-функции в первой строке конкретная засада, в одной из приведённых Вами статей 100+млрд нулей хватило лишь для $\pi(10^{24})$ ...

-- 05.04.2025, 19:46 --

Вычисление $\pi(10^{27})$ с тем же миллионом нулей дзета-функции, с оптимизацией $j(x<10^8)$ (оптимизированные строки не показаны):

Используется синтаксис Text

  1:     16352460426842189113085405.33867     19115776307.94704         -0.69315          0.00000  =    16352460426842208228861712.59256
  2:                  -526185192200.32344           11199.95129          0.34657         -0.00000  =                 -526185181000.02558
  3:                      -16949744.98567             -25.97647          0.23105         -0.00000  =                     -16949770.73108
16352460426842189113085405.338669698491\\li(n)
16352460426841682060634479.291631514126
16352460426841680446427399\\Точно

-- 05.04.2025, 19:53 --

Программа:

n=1e27;\\vecprod(primes([2,67]));
{s=0.0;
for(i=1,oo,
m=moebius(i)/i; if(m==0, next);
y=sqrtn(n,i); if(y<2, break);
if(y<1e8,\\Оптимизация вычисления j(y)
a=b=c=d=0; for(k=1,oo, yy=sqrtn(y,k); if(yy<2, break); a-=primepi(yy)/k; ); add=a; ,
a=real(-eint1(-log(y)));
b=-sum(i=1,#zm, -2*real(eint1(-log(y)*(1/2+I*zm[i]))));
c=-log(2); d=intnum(t=y,oo, 1/t/(t^2-1)/log(t));
add=a+b+c+d;);
s+=m*add;
printf("%3u:  %35.5f  %20.5f  %15.5f  %15.5f  = %35.5f\n",i,m*a,m*b,m*c,m*d,m*add););
print(real(-eint1(-log(n))),"\\\\li(n)");
print(s);

В массиве zm[] лежат мнимые части нулей дзета-функции.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1681214 писал(а):

Ну тогда можно и добавить вычисление второго члена, но его точность будет никакая, 4-5 значащих цифр

О чём и речь. Риман вывел формулу, а про практическое применение не подумал. Нехороший человек

Но вот в этих работах, при вычислении $\pi(10^{24})$ научились как-то спрямлять путь без критической потери точности. Но нулей требовалось много, да.

И никто не подскажет что ли, даже Droog_Andrey...

[Yadryara]

Если ничего не путаю, то согласно A007508 количество пар близнецов посчитано лишь до 1e18. Пока не вижу используются ли где для расчёта дзета-нули. Вряд ли расчёт сильно сложнее, может просто ни у кого руки не дошли. А может найдётся ещё такая работа... Посмотрите, кому не лень.

[Dmitriy40]

По одной из ссылок оттуда (и не только оттуда, вообще полезный сайт) есть таблица из 4000 значений $\pi_2(x)$ с шагом $10^{15}$, т.е. до 4e18. Но это апрель 2012. И более новых не встречал.
Похоже это (и куча других данных, например эти) считалось решетом, не формулами или паттернами.

-- 05.04.2025, 23:19 --

А вот здесь заметил интересную формулу:

$$\operatorname{Li}_2(x)=\operatorname{Li}(x)+\frac{2}{\ln 2}-\frac{x}{\ln x}$$

Она сразу под картинкой сравнения $\operatorname{Li}_2(x)$ vs $\pi_2(x)$.
Для грубой оценки не так уж и плохо, для $10^{18}$ даёт 6.1e14 вместо 8.1e14 ($x/\ln^2 x$ даёт 5.8e14).

[Yadryara]

Верю, что Вы внимательно искали. Какой предварительный вывод:

Никто не знает формулу для точного количества простых близнецов в интервале.

1. Количество простых чисел закодировано нулями дзета-функции Римана.

2. Количество кортежей из простых чисел закодировано ещё и наборами констант.

Эти наборы констант мы считать научились. И моя интуиция говорит, что формулы для точного количества кортежей должны существовать.

Но несмотря на то, что для простейшего кортежа, близнецов (как и для других кристаллов) константа всего одна и она прекрасно известна, формулу никто не вывел. Надо быть круче Бернхарда Римана чтобы её вывести или просто никто не заморачивался?

[Dmitriy40]

Да я особо и не искал, просто по известным местам (вики, oeis, вольфрам) и ссылкам ничего не было (и нет).

Yadryara в сообщении #1681251 писал(а):

Надо быть круче Бернхарда Римана чтобы её вывести

Думаю да. Или не круче, но сравнимо. Смотрите, даже про бесконечность близнецов не доказано, хотя бесконечность простых легко доказывается в средней школе. Статья Чжана в 2013 про пары с расстоянием 70млн (фактически кортежей длиной два и диаметром 7e7) была прорывом, до неё про бесконечность кортежей вообще ничего не было доказано. Потом быстро уменьшили диаметр до 5млн и до 600 и до 246 - и заглохло. Даже с недоказанными гипотезами диаметр уменьшается до 12 или 6, но не до 2.
Впрочем и "никто не занимался" тоже верно: простые числа много куда встроены в математике (как минимум - делимость, разложение на множители, шифрование, тесты простоты, эллиптические кривые, а ещё больше опутано следствиями из ГР и других гипотез) и потому их много исследуют, а вот кортежи из них - нет, нигде не применяются. Даже арифметическими прогрессиями из простых чисел (те что не из последовательных простых) тоже не занимаются, видимо приложений тоже нет.