Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Разумеется, уважаемый gris понимает, что этот поиск по избранным добавкам в космосе — жуткая хрень. На гору без нужды не надо лезть, а уж в космос — тем более!

И в целом gris уже объяснял почему. Но, вместе с тем (видимо, чтоб не обидеть) нахваливал ТС.

Yadryara в сообщении #1679614 писал(а):

Я как раз занимаюсь исследованиями в этом направлении.

Закончил полный обсчёт 6 групп — трёх самых чистых и трёх самых грязных:

15-228-2
                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
1-й период 61# G19   100 %           98           2242            1.1112
1-й период 61# G20   100 %         2645           2025            1.1157
1-й период 61# G21   100 %        23366           1815            1
...
1-й период 61# G28   100 %        11231            813            1.1216
1-й период 61# G29   100 %         1566            731            1.1204
1-й период 61# G30   100 %           73            656            1.1198

Все группы сравнивал с 21-й, как с наиболее надёжной. Всего просчитано 4% от всех кандидатов в диапазоне $0-61\#$.

Другие группы считать весьма долго. Подожду более быструю программу.

Другая статистика будет позже.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1679751 писал(а):

Всего просчитано 4% от всех кандидатов в диапазоне $0-61\#$.

Это с 8-го марта. И было найдено 48 кортежей 15-228-2. То бишь центральных 15-к.

А сколько их всего в $0-61\#$ ? Уже показывал сходимость по HL1 вплоть до 12-кратного загрязнения:

Yadryara в сообщении #1678657 писал(а):

         15-228-2

Счёт      MO штук     Доля чистых
          0 - 61#
До C6    2230.846          0.1146
До C7     866.514          0.0445
До C8    1186.657          0.0610
До C9    1123.640          0.0577
До C10   1134.160          0.0583
До C11   1132.655          0.0582
До C12   1132.842          0.0582

То бишь центральных 15-к ожидается 1132.8 штук.

Но ведь самой главной проверкой теории является сравнение с фактом. Возьмём из предыдущего поста пока самое надёжное соотношение 1.1216. И, предположив именно такое соотношение (хотя, это видимо, не совсем так: оно, возможно, нарастает к центру) посчитаем и отдельно по группам, и общее количество:

   G19  G20   G21    G22    G23    G24    G25    G26   G27   G28  G29  G30       Всего
  0.12 3.27 28.69 112.27 227.29 287.54 251.21 149.37 57.22 13.79 1.91 0.09     1132.77

Счёт в программе был также с учётом ожидания, что в самой чистой группе будет находиться в 1.8453 раза больше искомых кортежей чем в среднем среди всех групп:

{print();
t0=getwalltime();
print(); sumkc=0; x=1.8453;
kun=[44, 1306, 12872, 56494, 128274, 182012, 178350, 118944, 51108, 13812, 2144, 112];
for(g=19,30,
kc=kun[g-18]*x/745472*1132.8; sumkc+=kc;
printf("%0.2f ",kc);
x/=1.1216);
print();print();printf("%0.2f  ",sumkc);print();print();
}quit;

Теперь округлим прогноз до целых и сравним с фактом по посчитанным группам:

               G19  G20   G21   ...   G28  G29  G30     Всего
Прогноз штук     0    3    29          14    2    0        48
Факт    штук     0    3    27          16    2    0        48

Совпадение на редкость хорошее.

[Yadryara]

И опять тишина... Непривычная ситуация — комп почти ничего не считает третьи сутки.

Решил пока посчитать с самой вершины пирамиду матрёшек (она же ёлочка) для интервала 0 - 71# :

                                       0

                                      696

                                   0   6  12

                                      912

                               0  24  30  36  60

                                      242

                           0   6  30  36  42  66  72

                                      637

                       0  18  24  48  54  60  84  90 108

                                      697

                   0  30  48  54  78  84  90 114 120 138 168

                                      431

               0  12  42  60  66  90  96 102 126 132 150 180 192

                                      373

           0  18  30  60  78  84 108 114 120 144 150 168 198 210 228

                                      160

       0   6  24  36  66  84  90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240

                                      481

   0   6  12  30  42  72  90  96 120 126 132 156 162 180 210 222 240 246 252

Сколько простых чисел на этом интервале? Прикинул:

$$\frac{9293000000000000000000000}{557940830126698960967415390} \approx .016656$$

Неплохо соотносится с Prime-counting_function

А сколько чистых кортежей 3-12 на этом же интервале? Посчитал по HL1 — примерно 13345927252534412398846 штук.

$$\frac{9293000000000000000000000}{13345927252534412398846} \approx 696$$

То есть в среднем лишь одно простое число из 696 продолжится до центральной 3-ки.

А сколько чистых кортежей 5-60-4 на этом же интервале? Посчитал по HL1 — примерно 14638241008838751510 штук.

$$\frac{13345927252534412398846}{14638241008838751510} \approx 912$$

То есть в среднем лишь одна центральная 3-ка из 912 продолжится до центральной 5-ки.

Ну и так далее. Вплоть до 19-252:

В среднем лишь одна центральная 17-ка из 481 продолжится до 19-252.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1679964 писал(а):

Сколько простых чисел на этом интервале? Прикинул:

$$\frac{9293000000000000000000000}{557940830126698960967415390} \approx .016656$$

А что за число 9.293e24?

[Yadryara]

Примерное количество простых на этом интервале, то есть $\pi(557940830126698960967415390)$

[Dmitriy40]

Тогда непонятно что с чем Вы дальше сравниваете в "Неплохо соотносится с Prime-counting_function". И почему взяли 9.293e24 вместо более точного 9.212e24.

Ведь $\pi(71\#)$ вполне себе считается тем же PARI:

? intnum(t=2,vecprod(primes([2,71])), 1/log(t))
%1 = 9211625351796321762602107.1353193434230
? intnum(t=1e9,vecprod(primes([2,71])), 1/log(t))
%2 = 9211625351796321711752851.9620767830382
? intnum(t=1e9,vecprod(primes([2,71])), 1/log(t))[phone]
%3 = 9211625351796321762600385.9620767830382
? intnum(t=1e15,vecprod(primes([2,71])), 1/log(t))
%4 = 9211625351766477191096074.1667296949744
? intnum(t=1e15,vecprod(primes([2,71])), 1/log(t))[phone]
%5 = 9211625351796321761518743.1667296949744

Значения $\pi(10^9)=50847534, \pi(10^{15})=29844570422669$ известны точно. Погрешность интеграла не превысит указанной в вики для $10^{25}$. Да и как видно и без коррекции точность отличная.
Даже и $\pi(p\#)$ известны вплоть по 67# - A000849.

[Yadryara]

Ну так я интерполяцию просто прикинул по той таблице:

$$\frac{\pi(10^{26})}{10^{26}} \approx .016992$$

$$\frac{\pi(10^{27})}{10^{27}} \approx .016352$$

И моё значение вроде гораздо лучше Вашего ложится. Моё

$$\frac{\pi(557940830126698960967415390)} {557940830126698960967415390} \approx .016656$$

Ваше:

$$\frac{\pi(557940830126698960967415390)}{557940830126698960967415390} \approx .016510$$

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1679989 писал(а):

Моё

$$\frac{\pi(557940830126698960967415390)}{557940830126698960967415390} \approx .016656$$

Ваше:

$$\frac{\pi(557940830126698960967415390)}{557940830126698960967415390} \approx .016510$$

Забавно, левые части одинаковы, правые разные ...

Я как бы согласен что $9.293/9.212=1.0088$, погрешность менее процента, просто не понял почему взяли менее точное, ведь лучшее легко же получить на PARI с точностью в десяток цифр.
И ещё не понял какой смысл сравнивать полученное одним способом число с его же оценкой тем же способом, тавтология какая-то.

Ну да ладно, это частности, могут повлиять лишь на самое верхнее в пирамиде число 696, уменьшив его до 690, всё равно оно мало кому интересно. Самые интересные нижние пара-тройка чисел, вот они да ...

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1679994 писал(а):

просто не понял почему взяли менее точное,

Ещё более точное чем у меня уже совсем ни к чему.

Dmitriy40 в сообщении #1679994 писал(а):

И ещё не понял какой смысл сравнивать полученное одним способом число с его же оценкой тем же способом, тавтология какая-то.

Это про что?

Dmitriy40 в сообщении #1679994 писал(а):

Самые интересные нижние пара-тройка чисел, вот они да ...

Вот если искать 21-ку, то может нужно сначала наиболее подходящий паттерн выбрать.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1680003 писал(а):

Это про что?

Про:

Yadryara в сообщении #1679964 писал(а):

Неплохо соотносится с Prime-counting_function

Yadryara в сообщении #1680003 писал(а):

Вот если искать 21-ку, то может нужно сначала наиболее подходящий паттерн выбрать.

Насколько я видел для малого количества кортежей случайные флуктуации от ожидаемой по HL1 вероятности составляют во много раз больше чем любые Ваши коэффициенты, так что мало смысла выбирать что-то по последним.

[Yadryara]

Прошу пояснить, кто вот это делал:

Dmitriy40 в сообщении #1679994 писал(а):

И ещё не понял какой смысл сравнивать полученное одним способом число с его же оценкой тем же способом, тавтология какая-то.

[Dmitriy40]

Yadryara
Число 9.293e24 Вы же получили основываясь именно на той самой Prime-counting_function, с которой потом же и сравниваете результат. Смысла этого я и не понял.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1680024 писал(а):

Число 9.293e24 Вы же получили основываясь именно на той самой Prime-counting_function, с которой потом же и сравниваете результат.

Как это?? Я получил его с помощью интерполяции между двумя известными значениями, учтя не только расстояние до них, но также и сглаживание подъёма.

А результат я сравнил с ожидаемым количеством 3-12, коих оказалось почти в 700 раз меньше.

[Dmitriy40]

[Yadryara]

Это Вы в свой адрес поставили смайлик? Соизволили так ответить на мой вопрос вот по этому высказыванию?

Dmitriy40 в сообщении #1679236 писал(а):

Мне вот из Вашего объяснения осталось непонятным например почему взяли +12, но не взяли -14 - может такой паттерн тоже есть?

Вы ведь так и не объяснили. Какой паттерн тоже есть? Ведь 14 не кратно 6. Стало быть, нет такого паттерна -14 и +14. А -12 и +12 — есть.

Что касается вычисления кэфов для ярусов ёлочки, то формулы там разные, хотя и интегралы и логарифмы в знаменателе присутствуют на каждом ярусе. В разных степенях и с разными константами.