Существуют ли принципиально недоказуемые гипотезы?

[vicvolf]

dgwuqtj в сообщении #1615328 писал(а):

Давайте упростим задачу и вместо гипотезы Римана возьмём гипотезу Гольдбаха, чтобы не связываться с анализом, а ограничиться общепринятой моделью натуральных чисел.

mihaild в сообщении #1615324 писал(а):

Гипотеза Римана эквивалентна некоторой арифметической $\Pi_1$-формуле.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615064 писал(а):

Но это может быть потому что я ярый антиплатонист (в том смысле, что я считаю, что математику мы строим своими силами, а не обращаемся к какой-то "вселенной идей" или чему-то подобному).

Надо же, а я думал про Вас ровно наоборот.

-- Чт ноя 02, 2023 12:38:55 --

Mikhail_K в сообщении #1615079 писал(а):

Давным-давно я прочитал в книге Ю.И. Манина "Математика как метафора" вот такой отрывок. Привожу его как есть, может быть кто-нибудь прокомментирует. Фактически, здесь утверждается, что в некотором особом смысле арифметика полна, т.е. мы можем доказать или опровергнуть любое арифметическое утверждение.

Из приведённых рассуждений этот "некоторый смысл" не просматривается.

-- Чт ноя 02, 2023 12:43:35 --

z-theory в сообщении #1615083 писал(а):

Я неточно выразился. Возможно, точнее было бы сказать, что недоказуема ни в одной из возможных теорий, которые потенциально могут существовать в математике или другими словами которые потенциально может породить пытающийся определить доказуемость данного утверждения конструктивно мыслящий условный сверхразум за бесконечное время.

Не стоит слишком напрягаться, пытаясь "точно выразить" невыразимое. Математика - продукт человеческой фантазии, не нужно изначально придавать ей смысл "абсолютной истины", тогда и подобных вопросов не возникнет.

[z-theory]

Новая информация по данной теме:
https://www.quantamagazine.org/new-proo ... -20250203/

[dgwuqtj]

Результат, конечно, замечательный, только непонятно, чего его так распиарили в научно-популярных изданиях.

[Skipper]

dgwuqtj в сообщении #1615314 писал(а):

Хотя по идее если гипотеза Римана неверна, это можно проверить численно. Так что если её нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то в при добавлении аксиомы о её ложности натуральные числа станут нестандартными. И естественнее будет добавлять аксиому о её истинности. Но это особенность конкретного утверждения.

Не понимаю что такое "нестандартные натуральные числа".
А если ГР "нельзя ни доказать, ни опровергнуть" , то.. Что значит опровергнуть?
Это значит привести контрпример. Значит если нельзя опровергнуть, то нельзя и контрпример привести.
А это значит что ГР верна.

То есть доказательство что "нельзя опровергнуть", и является доказательством её истинности.
Значит не может быть такого что "нельзя ни доказать ни опровергнуть".

Anton_Peplov в сообщении #1615306 писал(а):

Если мы знаем, что гипотеза Римана недоказуема и неопровержима в рамках некоторой формальной теории (в которой ее вообще можно записать, само собой), то мы можем принять за аксиому новой теории хоть ее, хоть ее отрицание. Если мы этого не знаем, то лучше так не делать, иначе мы рискуем получить противоречивую теорию.

Исходя из вышеописанного, ГР, может быть
1) ложной,
2) истинной и это доказуемо,
3) истинной и это недоказуемо. Но этот факт (см.выше) не может быть доказан. (что она недоказуема и неопровержима). А значит ГР нельзя включать как аксиому, в новой теории?

По-другому дела обстоят с другой гипотезой, например о бесконечном количестве пар простых чисел-близнецов,
разность между которыми равна $2$. (например, $11$ и $13$, или $29$ и $31$, или $101$ и $103$ и т.д...).

Вот тут то как раз, независимо от того, истинна эта гипотеза или ложна, нельзя привести какой то
"контрпример". А рассуждать, бесконечное количество таких пар, или конечное- можно только
опираясь на аналитическое доказательство.
И если будет доказано, что это утверждение такое, что нельзя его ни доказать ни опровергнуть,
то и насчёт подобного утверждения, истины абсолютной тут просто нет.
Можно принять её как истинную и построить одну теорию, можно принять как ложную, и построить другую теорию.

-- Вс мар 09, 2025 23:29:18 --

dgwuqtj в сообщении #1615328 писал(а):

то могут быть все 4 варианта для высказывания без свободных переменных: оно доказуемо, оно опровержимо, оно верно и недоказуемо, оно ложно и неопровержимо. Нет какой-то универсальной теории, чтобы ей ограничивать математику (хотя бы из-за теорем о неполноте) и тем более нет универсального общепринятого универсума. Вот общепринятую модель натуральных чисел ещё можно представить.

Да, общепринятую модель натуральных чисел почти все и представляют, а всякие "нестандартные натуральные" числа, можно и вовсе называть не натуральными, а как-то по-другому.

-- Вс мар 09, 2025 23:34:01 --

Anton_Peplov в сообщении #1615337 писал(а):

Привычный нам анализ - это не формальная теория с ее строгим набором аксиом и правил вывода. Это неформальная математика. Набор понятий, которые можно привлекать для доказательства, ограничен лишь способностью нашего мозга изобретать математические понятия. Выше я уже приводил пример, как теорему о простых числах доказали через топологию, хотя казалось бы где бузина, а где дядька. Более того, набор допустимых методов доказательства ограничен только тем, что рецензенты и коллеги согласятся считать методом доказательства. Непонятно, как для неформальной математики вообще дать определение недоказуемости, если невозможно дать корректное определение доказательства. И, само собой, на неформальную математику не распространяются теоремы Геделя.

Но многие пишут о доказуемости или недоказуемости, и в рамках неформальной математики.

-- Вс мар 09, 2025 23:36:58 --

mihaild в сообщении #1615334 писал(а):

Вполне может оказаться, что в одной модели ZF гипотеза Римана верна, а в другой неверна.

Ну хорошо, а позже допустим привели контрпример, доказывающий что неверна.
И что это за "модель ZF" такая оказалась, если в ней кто то доказал что верна?

PS Я то почти уверен, что конкретно гипотеза Римана верна, просто аналогично можно по другой гипотезе, рассуждать о "моделях ZF".

[mihaild]

Skipper в сообщении #1677914 писал(а):

Значит если нельзя опровергнуть, то нельзя и контрпример привести.
А это значит что ГР верна.

Может оказаться, что пример привести нельзя, но доказать это тоже нельзя.

Skipper в сообщении #1677914 писал(а):

И что это за "модель ZF" такая оказалась, если в ней кто то доказал что верна?

В моделях утверждения не доказываются, они в них верны или неверны.

Вот стандартный пример, возможно я в этой теме уже приводил. Рассмотрим теорию группы (одной). В ней коммутативность недоказуема и неоопровержима. Группы бывают коммутативные и некоммутативные.
И аналогично может оказаться, что юниверсумы множеств бывают такие, в которыйх гипотеза Римана верна, а бывают в которых неверна. В чем проблема?

[Cantata]

Почему гипотеза Римана остается гипотезой,
а теорему Вейля и Делиня - своего рода алгебраический аналог гипотезы Римана, можно доказать в алгебро-геометрической интерпретации?
Если, конечно, я всё правильно поняла.

[dgwuqtj]

Какой-то странный вопрос. Это два разных утверждения, в чём-то идейно схожих. Так случилось, что одно из них человечество умеет доказывать, а со вторым непонятно. Для функциональных полей в принципе больше всякой техники существует, начиная прямо с эндоморфизма Фробениуса и дифференцирований. Можете в качестве аналогии прочитать доказательство ABC-гипотезы в функциональном случае (теорема Мейсона — Стотерса).