Существуют ли принципиально недоказуемые гипотезы?

[z-theory]

Интересно, существуют ли в математике принципиально недоказуемые утверждения (гипотезы)? Но не в рамках конкретной теории, а вообще. Т.е. если в рамках одной аксиоматической теории утверждение недоказуемо, то всегда ли найдется способ доказать или опровергнуть это утверждение в рамках какой-то другой теории? Интересно, что если таких принципиально недоказуемых утверждений быть не может, то по идее должен быть и способ это доказать? Возможно, это уже доказано?

[mihaild]

А нет понятия "недоказуема вообще", доказуемость всегда в конкретной теории.

[Anton_Peplov]

z-theory в сообщении #1615049 писал(а):

Т.е. если в рамках одной аксиоматической теории утверждение недоказуемо, то всегда ли найдется способ доказать или опровергнуть это утверждение в рамках какой-то другой теории?

Конечно. Нужно просто принять это утверждение за аксиому другой теории. Вот и будет доказательство из одной строчки. А если примем за аксиому отрицание этого утверждения, получим опровержение из одной строчки. Теории-то можно строить, в общем, какие угодно.

Допустим, в формальной арифметике недоказуемо и неопровержимо утверждение "кракозябра дудонится". Согласно теореме Геделя о неполноте, если формальная арифметика непротиворечива (на что мы все надеемся), то такие утверждения есть. Строим новую теорию под названием "кракозябровая арифметика". Она включает все аксиомы формальной арифметики плюс аксиому "кракозябра дудонится". Для полноты картины строим еще одну теорию под названием "антикракозябровая арифметика". Она включает все аксиомы формальной арифметики плюс аксиому "кракозябра не дудонится".

Если формальная арифметика непротиворечива (на что мы по-прежнему надеемся), то обе новые арифметики, кракозябровая и антикракозябровая, тоже будут непротиворечивы. Разумеется, в них найдутся собственные недоказуемые и неопровержимые утверждения, так что это размножение арифметик можно продолжать бесконечно.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1615051 писал(а):

Допустим, в формальной арифметике недоказуемо и неопровержимо утверждение "кракозябра дудонится".

Оно просто бессмысленно если не определить что означает "кракозябра" и что означает "дудонится".

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1615053 писал(а):

Оно просто бессмысленно если не определить что означает "кракозябра" и что означает "дудонится".

Вообще, утверждение формальной теории - это строка из символов ее алфавита, составленная по определенным правилам. Так что в формальной теории не бывает бессмысленных утверждений, бывают строки, не являющиеся утверждениями. Я поленился искать реальное недоказуемое и неопровержимое утверждение формальной арифметики, которое к тому же наверняка окажется невыносимо длинным и скучным, и заменил его смешной фразочкой. Мне показалось, что смысл этой замены довольно очевиден. Возможно, в этом я и ошибался.

[DieselMachine]

А мне интересно, может ли быть так, что гипотеза в принципе доказуема, но её доказательство находится за пределами человеческих возможностей - требует построения такой сложной теории, понять которую и всей жизни не хватит.

[Anton_Peplov]

DieselMachine в сообщении #1615060 писал(а):

А мне интересно, может ли быть так, что гипотеза в принципе доказуема, но её доказательство находится за пределами человеческих возможностей - требует построения такой сложной теории, понять которую и всей жизни не хватит.

Это возможно даже в простой теории. В той же формальной арифметике нет никакого закона, связывающего длину утверждения с минимальной длиной его доказательства. То есть возможно сравнительно короткое утверждение (которое мы можем прочитать и понять) с доказательством такой длины, что человек не успеет дочитать его до конца за весь срок жизни.

Подозреваю, например, что формальная запись доказательства теоремы Ферма Уайлсом будет как раз такой безнадежно длинной. Оно и в неформальном-то виде немаленькое и с кучей ссылок на чужие работы.

Ну а если говорить о неформальной математике, то классификация простых конечных групп - это что-то около того. Коллективная работа, тонким слоем размазанная по тысячам научных статей. Может быть, один человек и способен прочитать их все, но написать их все точно никто не смог бы в одиночку.

[EminentVictorians]

DieselMachine в сообщении #1615060 писал(а):

А мне интересно, может ли быть так, что гипотеза в принципе доказуема, но её доказательство находится за пределами человеческих возможностей - требует построения такой сложной теории, понять которую и всей жизни не хватит.

Какая там средняя скорость чтения текста человеком? Допустим, 10 символов в секунду. Ну вот и возьмем какое-нибудь диофантово уравнение, настолько длинное, что на одно только его прочтение потребуется 1000 лет. Тут проблема будет даже не в сложности теории, а элементарно в размере. Но Вам наверное такой пример не понравится

А вообще, лично я считаю, что полезность теории заключается далеко не только в ее способности решать много задач. Возможно, не менее важна ее "психологичность" - насколько хорошо теория "ложится" на голову. Если мне дадут пусть даже супер эффективную в плане решения задач теорию, но у которой будут абсолютно случайные и немотивированные определения на несколько страниц - нафиг такую теорию.

Но это может быть потому что я ярый антиплатонист (в том смысле, что я считаю, что математику мы строим своими силами, а не обращаемся к какой-то "вселенной идей" или чему-то подобному).

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1615064 писал(а):

Если мне дадут пусть даже супер эффективную в плане решения задач теорию, но у которой будут абсолютно случайные и немотивированные определения на несколько страниц - нафиг такую теорию.

Каких задач? Если эти задачи стояли давно (до появления новой теории) и новая теория их решает, то ее определения не могут быть "абсолютно случайными". Они обязаны иметь связь с этими задачами, даже если эта связь на первый и даже на второй взгляд не видна. Поэтому теорию нужно разобрать по кирпичику и докопаться до этой связи. А тогда и определения станут мотивированными.

Представим, например, что на планете Плюх стрекозоид Ав изобрел матрицы, а стрекозоид Ыв линейные операторы. И говорит Ав Ыву: смотри, мои таблички чисел хорошо решают твои задачи. Ыв же рычит на Ава: уйди на фиг со своими уродливыми определениями! Почему они у тебя так странно умножаются? Где вообще ты видел такое умножение? Что это за громоздкая формула определителя, уж не говорю - обратной матрицы? Ты определение этого определителя с какого потолка взял?

Вот что мы ответим Ыву?

-- 28.10.2023, 21:28 --

EminentVictorians в сообщении #1615064 писал(а):

я считаю, что математику мы строим своими силами, а не обращаемся к какой-то "вселенной идей" или чему-то подобному

Строим-то мы строим, только не сразу понимаем, что построили. Вот строили одни люди эллиптические кривые, а другие модулярные формы, и понятия не имели, что строят одно и то же. Пока не пришел странный молодой человек Танияма и не увидел невидимое.

Может быть, мы и можем выдумывать определения и аксиомы по своему вкусу. Но после того, как они выдуманы, теоремы от нас уже не зависят. И в этом смысле это объективная "вселенная идей".

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1615065 писал(а):

Ты определение этого определителя с какого потолка взял?

Так оно же правда дурацкое. Нормальное определение, что определитель является полилинейным индикатором линейной зависимости. А формулу через перестановки надо выводить из полилинейности и требования, чтобы на линейно зависимых кортежах векторов он давал ноль. Далее замечаем, что все такие формы параметризованы значением на единичном наборе векторов, а значит, чтобы не таскать этот множитель, надо сделать его равным единице (именно этот факт и является мотивацией того, почему определитель на единичном наборе векторов равен единице). И получилась в точности формула Лейбница. А использовать ее как определение - это как раз хороший пример плохо организованной теории.

Anton_Peplov в сообщении #1615065 писал(а):

И в этом смысле это объективная "вселенная идей".

Если в таком смысле, то я буду двумя руками за. Да, нас интересуют в том или ином смысле универсальные объекты. А это не совсем произвол фантазии. Так я и против произвола фантазии. Я за поиск инвариантности и универсальности.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1615068 писал(а):

А использовать ее как определение - это как раз хороший пример плохо организованной теории.

Ух как я с Вами согласен (уж сколько лет не первокурсник, а до сих пор на эту формулу смотреть без отвращения не могу). Но плохо организованную теорию, решающую задачи, надо организовать хорошо, а не выкидывать нафиг.

Гипотеза: любую плохо организованную теорию, решающую задачи, можно организовать хорошо.

Кажется, это как раз та самая гипотеза, которую невозможно доказать ни в одной теории. Как раз то, что хотел ТС

(На всякий случай)

Для особенных зануд поясняю: эту гипотезу невозможно доказать ни в одной математической теории, потому что она не математическая.

[z-theory]

Anton_Peplov в сообщении #1615051 писал(а):

Конечно. Нужно просто принять это утверждение за аксиому другой теории. Вот и будет доказательство из одной строчки. А если примем за аксиому отрицание этого утверждения, получим опровержение из одной строчки.

Понятно, что мы можем уйти слишком далеко, если будем рассматривать теории с "плохой" аксиоматикой — противоречивой, содержащей неопределенность и т.п.. Но все-таки, имеет ли смысл искать конструктивный ответ на данный вопрос или сама постановка вопроса в таком общем виде совершенно бессмысленна / ошибочна?

[Anton_Peplov]

z-theory в сообщении #1615074 писал(а):

имеет ли смысл искать конструктивный ответ на данный вопрос

Нет, не имеет, поскольку

z-theory в сообщении #1615074 писал(а):

сама постановка вопроса в таком общем виде совершенно бессмысленна

[Mikhail_K]

Давным-давно я прочитал в книге Ю.И. Манина "Математика как метафора" вот такой отрывок. Привожу его как есть, может быть кто-нибудь прокомментирует. Фактически, здесь утверждается, что в некотором особом смысле арифметика полна, т.е. мы можем доказать или опровергнуть любое арифметическое утверждение. Интересно, справедливо ли что-то подобное для теории множеств. Есть ли вероятность, что гипотеза континуума, например, всё же доказуема или опровержима с помощью каких-то аналогичных инструментов? Есть ли какие-нибудь книги на русском языке про результаты Фефермана?

Цитата:

Таким образом, Гёдель явно указывает формулу, которая истинна, но не выводима с помощью данных дедуктивных средств! Иными словами, его рассуждение не только демонстрирует неполноту этого набора дедуктивных средств, но также дает эффективный способ пополнить этот набор новой аксиомой, истинность которой мы установили метаязыковыми разговорами. Расширив так множество $D$ <множество доказуемых утверждений>, мы получим большее множество $D^\prime$, все еще не совпадающие с $T$ <множеством истинных утверждений>; к нему можно снова применить конструкцию Гёделя и т. д. Таким образом, мы получаем рецепт для проведения целой серии творческих актов - пополнения арифметики новыми аксиомами, истинность которых мы не доказываем, но угадываем. (Формализация этого свойства $T$ привела к математическому понятию «творческого множества», которое автор не намерен обсуждать подробнее, но вынес в заголовок раздела - для рекламы.) На самом доле, разумеется, творческий акт здесь был совершен однократно - самим Гёделем; и его содержание уникально.

Ясно, что как бы мы ни постарались финитно описать рецепт для бесконечного увеличения $D$ таким способом, все $T$ все равно окажется неисчерпанным - в силу той же теоремы о неполноте. Однако можно постараться исчерпать $T$ формулами гёделевского типа, отказавшись от надежды описать этот набор формул финитно.

Очень красивый результат в этом направлении доказал около десяти лет назад американский математик С.Феферман. Его изложением мы и закончим статью.

С. Феферман заметил, что есть много других способов добавлять к уже имеющимся аксиомам невыводимые, но истинные формулы. Истинность их устанавливается в метаязыке, как следствие нашей веры в истинность предыдущих аксиом (принятие которых, в свою очередь, было актом веры: вспомните аксиомы индукции).
Точнее, пусть $P(x)$ - любая формула с одной свободной переменной. С. Феферман показывает, как написать формулу AP без свободных переменных, смысл которой в метаязыке может быть выражен так:
если для всех чисел $n$ формулы $P(n)$ выводимы из предыдущей системы аксиом, то $\forall x\,P(x)$.
После этого оказывается, что добавление формул AP в бесконечном количестве и всех выводов из них исчерпывает $T$.

Иными словами, начнем с принятия элементарных арифметических тождеств и аксиом индукции. Тогда для постижения полной истины в арифметике нам остается еще совершить трансфинитную последовательность актов веры в то, что предшествующие акты веры не были заблуждением.

[DieselMachine]

Anton_Peplov в сообщении #1615062 писал(а):

Это возможно даже в простой теории...

Подозреваю, например, что формальная запись доказательства теоремы Ферма Уайлсом будет как раз такой безнадежно длинной. Оно и в неформальном-то виде немаленькое и с кучей ссылок на чужие работы.

EminentVictorians в сообщении #1615064 писал(а):

Какая там средняя скорость чтения текста человеком? Допустим, 10 символов в секунду. Ну вот и возьмем какое-нибудь диофантово уравнение, настолько длинное, что на одно только его прочтение потребуется 1000 лет. Тут проблема будет даже не в сложности теории, а элементарно в размере. Но Вам наверное такой пример не понравится

То что теоретически можно придумать какую-то новую задачу про какое-то огромное диофантово уравнение, решение которой в формализованном виде займёт миллионы страниц текста - это я понимаю. Но это искусственный пример. Я же говорю про какую-то известную гипотезу, пусть скажем гипотезу Римана. Вот кто-то пытается найти её доказательство, а может быть этот поиск бесполезен, потому что доказательство имеет огромный объём, но тем не менее существует. Может быть оно будет когда-нибудь получено какой-нибудь новой программой автоматического поиска доказательств, но не человеком, например.

Anton_Peplov в сообщении #1615062 писал(а):

Ну а если говорить о неформальной математике, то классификация простых конечных групп - это что-то около того. Коллективная работа, тонким слоем размазанная по тысячам научных статей. Может быть, один человек и способен прочитать их все, но написать их все точно никто не смог бы в одиночку.

Нет, это не то. Классификация простых конечных групп в переработанном виде опубликована частично тремя авторами в девяти из четырнадцати томов. Должны уложиться в 10000 страниц, что в принципе по силам прочитать и понять конкретному человеку.