Существуют ли принципиально недоказуемые гипотезы?

[Anton_Peplov]

DieselMachine в сообщении #1615302 писал(а):

А всегда ли это можно сделать?

Как говорится, читайте инструкцию до конца.

Anton_Peplov в сообщении #1615051 писал(а):

Допустим, в формальной арифметике недоказуемо и неопровержимо утверждение "кракозябра дудонится".

(болд для привлечения внимания). Если мы знаем, что гипотеза Римана недоказуема и неопровержима в рамках некоторой формальной теории (в которой ее вообще можно записать, само собой), то мы можем принять за аксиому новой теории хоть ее, хоть ее отрицание. Если мы этого не знаем, то лучше так не делать, иначе мы рискуем получить противоречивую теорию.

Я ставлю на то, что гипотеза Римана доказуема или опровержима в любой разумной формализации анализа. Но если вдруг она недоказуема и неопровержима, то доказать этот факт тоже тянет на проблему тысячелетия :)

Между прочим, такие случаи уже бывали. Математики долго пытались доказать или опровергнуть, что существует множество, которое по мощности больше счетного, но меньше континуального. А потом оказалось, что это недоказуемо и неопровержимо в теории множеств Цермело-Френкеля, даже с аксиомой выбора.

P.S. А, вот ниже и про Лобачевского вспомнили. Еще более наглядный пример, спасибо, mihaild.

[mihaild]

DieselMachine в сообщении #1615302 писал(а):

Тут два взаимоисключающих варианта: либо все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на одной прямой, либо есть какой-то ноль, который не лежит

Давайте даже проще, возьмем абсолютную двумерную геометрию. Тут два взаимоисключающих варианта: либо для любой прямой и точки не на этой прямой через эту точку всегда проходит ровно одна прямая, параллельная данной, либо нет (или иногда проходит две, или иногда не проходит не одной). Поэтому строить по отдельности геометрии Евклида и Лобачевского нельзя.
Чем гипотеза Римана априори так уж сильно отличается от пятого постулата?

[DieselMachine]

mihaild в сообщении #1615307 писал(а):

Чем гипотеза Римана априори так уж сильно отличается от пятого постулата?

Принципиально отличается. Потому что дзета-функция Римана - это аналитическое продолжение функции с действительной оси, а аналитическое продолжение единственно. А у вас получается, что есть два аналитических продолжения - в одной теории одно, а в другой другое. Так?

[dgwuqtj]

DieselMachine в сообщении #1615313 писал(а):

А у вас получается, что есть два аналитических продолжения - в одной теории одно, а в другой другое.

Нет, там просто 2 разные теории вещественных чисел, вот и всё.

-- 30.10.2023, 21:49 --

Хотя по идее если гипотеза Римана неверна, это можно проверить численно. Так что если её нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то в при добавлении аксиомы о её ложности натуральные числа станут нестандартными. И естественнее будет добавлять аксиому о её истинности. Но это особенность конкретного утверждения.

[Geen]

dgwuqtj в сообщении #1615314 писал(а):

Хотя по идее если гипотеза Римана неверна, это можно проверить численно.

Вообще говоря, не обязательно - доказательство существования не подразумевает "численного построения".

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615307 писал(а):

Давайте даже проще, возьмем абсолютную двумерную геометрию.

Мне вот не очень нравится такая аналогия.

Абсолютная геометрия задается списком аксиом. В принципе, нет ничего удивительного, что список аксиом не задал объект категоричным образом. Базовый пример - аксиомы группы. От групп ведь никто и не ждал, что все они будут изоморфны. Здесь точно так же - аксиомы абсолютной геометрии не определяют какую-то одну геометрию.

Но когда мы говорим, например, про простые числа близнецы, у нас есть конкретное множество - множество $\mathbb N$ натуральных чисел:

$$\Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno (1)$$

с понятно как определенными операциями.

Я верю в то, что вопрос про простых близнецов в этом множестве имеет однозначный ответ "да" или "нет".

С гипотезой Римана точно так же. У нас есть конкретные множества $\mathbb R$ и $\mathbb C$ и я верю, что для них тоже должен быть однозначный ответ про нули дзета функции.

В крайнем случае, если мы прям строго формалисты и работаем в ZFC, действительно может случиться так, что один или оба эти вопроса могут оказаться независимы от ZFC.

По-сути, это из-за того, что есть разные модели ZFC, т.е. сами аксиомы ZFC для множеств не определили универсум множеств однозначным образом.

Но я-то живу в своем уютненьком универсуме, про который я верю, что он определен однозначно. Я уж не знаю, является ли он одним из универсумов ZFC (так-то должен), но мне это и не важно - я про другие универсумы не думаю.

Поэтому в моем универсуме все эти вопросы про простые числа близнецы или про гипотезу Римана имеют однозначный ответ.

Все сводится лишь к тому, правда ли он единственный.

mihaild, Вы пытались мне объяснить, что он не единственный, но я в упор не вижу, как такое может быть. Все операции, которые у меня есть, однозначно строят по одному множеству другое множество (ну не верю я, что та же операция взятия булеана от множества $X$ не является однозначной).

-- 30.10.2023, 22:20 --

EminentVictorians в сообщении #1615321 писал(а):

Но я-то живу в своем уютненьком универсуме
,

Если что, первая аксиома там должна быть не про пустое множество, а такая:

1)Множество наследственно конечных множеств принадлежит универсуму.

[mihaild]

Geen в сообщении #1615318 писал(а):

Вообще говоря, не обязательно - доказательство существования не подразумевает "численного построения".

Обязательно. Гипотеза Римана эквивалентна некоторой арифметической $\Pi_1$-формуле.

EminentVictorians, про это уже тема есть, давайте в эту не перетаскивать. Я имел в виду именно возможную независимость гипотезы Римана от ZF (аксиома выбора для арифметических утверждений не нужна).

[DieselMachine]

dgwuqtj в сообщении #1615314 писал(а):

Нет, там просто 2 разные теории вещественных чисел, вот и всё.

Давайте считать, что мы находимся в привычном нам анализе. Может ли быть так, что гипотеза Римана верна, но её доказательство не может быть получено?

mihaild в сообщении #1615324 писал(а):

Я имел в виду именно возможную независимость гипотезы Римана от ZF

Не понимаю как такое может быть, если дзета-функция Римана строится однозначно. Можете пояснить?

[dgwuqtj]

DieselMachine в сообщении #1615326 писал(а):

Давайте считать, что мы находимся в привычном нам анализе. Может ли быть так, что гипотеза Римана верна, но её доказательство не может быть получено?

Я не знаю, какой анализ привычен вам, у меня просто вещественные числа внутри ZF. Там всё может быть. Это и к чисто арифметическим утверждениям относится, разумеется.

Вообще, если зафиксировать теорию $T$ (скажем, ZFC) и модель $M$ этой теории (универсум ZFC), то могут быть все 4 варианта для высказывания без свободных переменных: оно доказуемо, оно опровержимо, оно верно и недоказуемо, оно ложно и неопровержимо. Нет какой-то универсальной теории, чтобы ей ограничивать математику (хотя бы из-за теорем о неполноте) и тем более нет универсального общепринятого универсума. Вот общепринятую модель натуральных чисел ещё можно представить.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615324 писал(а):

про это уже тема есть, давайте в эту не перетаскивать.

Согласен. Отписался в той.

[mihaild]

DieselMachine в сообщении #1615326 писал(а):

Давайте считать, что мы находимся в привычном нам анализе. Может ли быть так, что гипотеза Римана верна, но её доказательство не может быть получено?

Непонятно, что это значит. Что для математического утверждения значит "быть истинным вообще"?

DieselMachine в сообщении #1615326 писал(а):

Не понимаю как такое может быть, если дзета-функция Римана строится однозначно. Можете пояснить?

А что тут пояснять? Вполне может оказаться, что в одной модели ZF гипотеза Римана верна, а в другой неверна. Так же как в одной модели ZF арифметика противоречива, а в другой нет.

[Anton_Peplov]

DieselMachine в сообщении #1615326 писал(а):

Давайте считать, что мы находимся в привычном нам анализе.

Привычный нам анализ - это не формальная теория с ее строгим набором аксиом и правил вывода. Это неформальная математика. Набор понятий, которые можно привлекать для доказательства, ограничен лишь способностью нашего мозга изобретать математические понятия. Выше я уже приводил пример, как теорему о простых числах доказали через топологию, хотя казалось бы где бузина, а где дядька. Более того, набор допустимых методов доказательства ограничен только тем, что рецензенты и коллеги согласятся считать методом доказательства. Непонятно, как для неформальной математики вообще дать определение недоказуемости, если невозможно дать корректное определение доказательства. И, само собой, на неформальную математику не распространяются теоремы Геделя.

[DieselMachine]

dgwuqtj в сообщении #1615328 писал(а):

Вот общепринятую модель натуральных чисел ещё можно представить.

Что-то вы все меня запутали. Давайте упростим задачу и вместо гипотезы Римана возьмём гипотезу Гольдбаха, чтобы не связываться с анализом, а ограничиться общепринятой моделью натуральных чисел. Пусть у нас такие понятия как натуральное число, чётное число, простое число определены и зафиксированы. Теперь либо гипотеза верна и любое чётное число можно представить в виде суммы двух простых, либо она неверна и можно предъявить контрпример. Тут нельзя как в континуум-гипотезе допустить что гипотеза Гольдбаха верна и получить теорию 1, а потом допустить что она неверна и получить теорию 2. Теперь вопрос: может ли быть так, что гипотеза Гольдбаха верна, но её доказательство не может быть получено ни в каком в виде: ни в строго формализованном, ни в таком какое примет математическое сообщество? Из ответа dgwuqtj я понял, что такое возможно.

Anton_Peplov в сообщении #1615337 писал(а):

Привычный нам анализ - это не формальная теория с ее строгим набором аксиом и правил вывода. Это неформальная математика.

Вы хотите сказать, что привычный нам анализ не может быть формализован? Вон теорему Фейта-Томпсона уже формализовали и проверили в Coq, почему с анализом нельзя то же самое сделать?

[Anton_Peplov]

DieselMachine в сообщении #1615496 писал(а):

Вы хотите сказать, что привычный нам анализ не может быть формализован?

Отчего же. Как и любая другая область математики, он может быть формализован. Вообще говоря, разными способами. В том числе, вероятно, сведением к формальной ZFC. При этом, как уже указал mihaild, может оказаться, что гипотеза Римана не зависит от аксиом ZFC и, значит, недоказуема и неопровержима в этой теории.

[dgwuqtj]

DieselMachine в сообщении #1615496 писал(а):

Теперь вопрос: может ли быть так, что гипотеза Гольдбаха верна, но её доказательство не может быть получено ни в каком в виде: ни в строго формализованном, ни в таком какое примет математическое сообщество?

Есть такие варианты:
1) либо она неверна и это докажут в ZFC (пусть и неформально),
2) либо она неверна, это докажут в теории сильнее ZFC (принимаемой математическим сообществом), но не смогут найти опровержение в ZFC (хотя будет известно, что опровержение существует),
3) либо она верна и это докажут в ZFC (опять же неформально),
4) либо она верна и недоказуема в ZFC, но недоказуемость можно как-то установить (доказать в метатеории), тогда её просто добавят к аксиомам ZFC,
5) либо её истинность установят в теории, более сильной, чем ZFC, но принимаемой математическим сообществом, а про доказуемость в ZFC вопрос останется открытым,
6) либо человечество её так никогда и не узнает, верна ли она.
Может, я что-то пропустил, пусть тогда меня поправят.