Бесконечно длинный соленоид - внутренне противоречивая моде

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1671101 писал(а):

а) повороты вокруг $Oz$. Значит от угла $\varphi$ ничего не зависит.

Это неверно. Инвариантность относительно поворотов означает, что уравнение не меняется при поворотах, а решение переходит, вообще говоря, в другое решение того же уравнения. Сами решения должны принадлежать к неприводимому представлению группы симметрии. Группа вращений относительно фиксированной оси абелева, поэтому решение (в комплексном виде) должно иметь вид
$\mathbf{B}= \mathbf{B}_0(\rho)e^{im\varphi}.$
Для постоянного тока уравнение Гельмгольца переходит в уравнение Лапласа, и выживает только решение с $m=0$ и $\mathbf{B}_0=B_z=\operatorname{const}.$ Для переменного надо тащить все решения.

[chislo_avogadro]

EUgeneUS в сообщении #1671461 писал(а):

поток внутри бесконечного соленоида ровно ноль и увеличиться не может (тоже не без основательное утверждение - энергия магнитного поля бесконечная получается).

Всё же, если ток постоянный, то, подождав более-менее бесконечное время, можно какой-то ненулевой ток в соленоид загнать. А если переменный, то ждать уже нечего. Впрочем, если есть источник бесконечного переменного напряжения, то проблема решаема.

[EUgeneUS]

amon
У меня нет возражений. Но отмечу, что в той теме рассматривался квазистатический случай.

Для всех, дабы не было недоразумений.

1. У меня нет никаких претензий к модели длинного (но конечного) соленоида. В котором: поле близи соленоида, но вдали от его концов - мало. Потому что все эти "вдали", "близи", "мало" легко формализуются количественно в виде неравенств $\ll$ и $\gg$.
Кроме того, также легко определяются условия для:
- поток через контур вне соленоида мал по сравнению с потоком внутри
- не вывалились из квазистатичного случая. Тут, правда, возникает тонкий вопрос - а с чем сравнивать длину волны: с геометрической длиной соленоида, или с длиной провода, которым он намотан?

2. Вопросы возникают к модели бесконечного соленоида. Для которой
а) чтобы определить условия применимости нужно из неё выйти, записать их, проверить, что выполняются и сказать "а соленоид-то бесконечно длинный". А не голословно утверждать "у нас модель бесконечно длинного соленоида, поэтому поле - ноль" - как это происходило в "соседней" теме.
б) формулировка условия на квазистатический случай приводит к оксюморону: соленоид бесконечно длинный, но короткий.

[Alex-Yu]

EUgeneUS в сообщении #1671456 писал(а):

Но тогда получается оксюморон: соленоид бесконечно длинный, но... короткий

Никакого противоречия. Короткий по сравнению с длинной волны (в волноводе, кстати, не такая как в свободном пространстве), а длинный по сравнению с диаметром. Может быть запросто одновременно. И вообще в физике бесконечность -- это совсем не то, что в математике :)

-- Сб янв 25, 2025 11:21:53 --

amon в сообщении #1671464 писал(а):

Группа вращений относительно фиксированной оси абелева, поэтому решение (в комплексном виде) должно иметь вид
$\mathbf{B}= \mathbf{B}_0(\rho)e^{im\varphi}.$

Не-а.... Скомбинировать в трансляциями надо. Что-то вроде несимморфных групп в кристаллофизике.

[rascas]

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

Это вместе с $\mathbf{B}=0$ уже сразу противоречит четвертому уравнению Максвелла:

$$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

Это просто излучение электромагнитной волны соленоидом. Нет противоречивости в том, что идеальный бесконечный соленоид излучает.

Соотношение полей для электромагнитного излучения $\frac{E}{B}=c$

Амплитудное значение вектора магнитной индукции внутри соленоида: $B_z$
Амплитудное значение напряжённости электрического поля снаружи рядом с соленоидом: $E_\varphi=\frac{\omega B_z \pi r^2}{2\pi r}=\frac{\omega B_z r}{2}$

Отношение значений магнитных полей внутри и снаружи соленоида: $k=\frac {\omega r}{2 c}$

Если взять данные соленоида из Вашей ссылки в стартовом посте то получаем:

$f=300\text{Гц}$, $r=0.025\text{м}$
$k=7.85\cdot 10^{-8}$

Излучением соленоида пренебрегаем даже не упоминая об этом. И рассматриваем квазистационарный случай.

amon в сообщении #1671448 писал(а):

И это связано не с тем, что у него есть концы, а с тем, что ток течет не только поперек, но и вдоль соленоида, что создает снаружи, вдали от соленоида, в первом приближении, поле прямого провода.

Да нет там никакого осевого тока. Бесконечный соленоид из одного витка бесконечной высоты. Диаметр соленоида $d$. Погонный ток $I [\text{A/м}]$.

[Alex-Yu]

rascas в сообщении #1671506 писал(а):

Это просто излучение электромагнитной волны соленоидом. Нет противоречивости в том, что идеальный бесконечный соленоид излучает.

Кстати, бесконечный как раз не излучает. Как и любой волновод. С квантовой точки зрения совсем очевидно: невозможно выполнить закон сохранения импульса, как импульс излученного фотона ни направляй. Слишком большой импульс в волноводе. Содержательно тут, конечно, нет ничего квантового, просто в классике есть аналог сохранения импульса: сохранение волнового вектора.

[EUgeneUS]

rascas в сообщении #1671506 писал(а):

Это просто излучение электромагнитной волны соленоидом.

Это не излучение, а указание на внутреннюю противоречивость модели.

Я вообще не понимаю, зачем нужна модель бесконечного длинного соленоида, при наличии модели длинного (но конечного) соленоида. Она только провоцирует на неверные утверждения и неверные выводы.

rascas в сообщении #1671506 писал(а):

Если взять данные соленоида из Вашей ссылки в стартовом посте то получаем:

$f=300\text{Гц}$, $r=0.025\text{м}$
$k=7.85\cdot 10^{-8}$

Излучением соленоида пренебрегаем даже не упоминая об этом. И рассматриваем квазистационарный случай.

Для обоснования применения квазистационарного случая нужно обосновать, что соленоид короткий, как указывалось выше. Причем короткий по сравнению с длиной волны в спиральном волноводе, а не в в свободном пространстве.
Для катушки 444 витка длиной 1.04 метра на частоте 300 Гц, скорее всего всё будет хорошо (но опять же - никто не делал оценки , а в рамках модели бесконечного соленоида их и сделать невозможно), но при частотах в десятки, может быть сотни кГц могут начаться чудеса.
Вот тут на странице 16 эти "чудеса" показаны наглядно, на картинке. Так частота повыше, но и катушка покороче.

[Alex-Yu]

EUgeneUS в сообщении #1671517 писал(а):

но при частотах в десятки, может быть сотни кГц могут начаться чудеса.

Ну кГц не кГц, а на деятках МГц точно начнутся. Это знает любой радиолюбитель, который водил неонкой по дросселю БУМа Очень хорошо видны стоячие волны.

-- Сб янв 25, 2025 14:49:37 --

EUgeneUS в сообщении #1671517 писал(а):

а в рамках модели бесконечного соленоида их и сделать невозможно)

В рамках модели конечного соленоида тоже Волновод это волновод. Кстати, теория такого волновода довольно проста, если применить некий искусственный приближенный трюк. Для типичных катушек этот трюк дает неплохую точность. Развлекался я этим лет так 30 тому назад... С дросселем-неонкой сходилось неплохо. И это при том, что в теории я не учитывал каркас.

[rascas]

Alex-Yu в сообщении #1671511 писал(а):

rascas в сообщении #1671506 писал(а):

Это просто излучение электромагнитной волны соленоидом. Нет противоречивости в том, что идеальный бесконечный соленоид излучает.

Кстати, бесконечный как раз не излучает. Как и любой волновод. С квантовой точки зрения совсем очевидно: невозможно выполнить закон сохранения импульса, как импульс излученного фотона ни направляй. Слишком большой импульс в волноводе. Содержательно тут, конечно, нет ничего квантового, просто в классике есть аналог сохранения импульса: сохранение волнового вектора.

Если учесть "параллельную" схему запитки идеального соленоида, ни какого сходства с волноводом там нет.

rascas в сообщении #1671506 писал(а):

Да нет там никакого осевого тока. Бесконечный соленоид из одного витка бесконечной высоты. Диаметр соленоида $d$. Погонный ток $I [\text{A/м}]$.

И если уж так не нравится "Соленоид излучает", предлагаю заменить на "Соленоид создаёт электромагнитную волну" при запитке его переменным током.


EUgeneUS, Вы сигнализируете о том, что заметили появление магнитного поля с внешней стороны идеального соленоида, в случае запитки его переменным током.
Ок. Согласен появление мизерного поля в этом случае есть.

Вы вывели какую то ошибочную формулу, но почему по ней не определили "размеры бедствия" (соотношение поля внутри и снаружи соленоида)?

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

$$B_z = \frac{\omega^2 \Phi_0 \cos \omega t}{2 \pi c^2} \ln \frac{r_0}{r}$$

Я попробую посчитать:

Радиус соленоида $r_0=0.025\text{м}$;
Амплитудное значение поля внутри соленоида $B_z$
Амплитудное значение поля снаружи соленоида $B$ (на расстоянии трёх радиусов соленоида $|\ln \frac{r_0}{r}|=1$)
Соотношение этих полей $k=\frac{B}{B_z}$
Частота тока $f=300\text{Гц}$.

$k = \frac{\omega^2 \pi r^2_0}{2 \pi c^2}= \frac{\omega^2 r^2_0}{2 c^2}$

$k=1.23\cdot 10^{-14}$
Это вообще почти ноль.

EUgeneUS в сообщении #1671517 писал(а):

Я вообще не понимаю, зачем нужна модель бесконечного длинного соленоида, при наличии модели длинного (но конечного) соленоида. Она только провоцирует на неверные утверждения и неверные выводы.

Ни на какие неправильные выводы она разумных людей не провоцирует, наоборот в некоторых случаях удобна. Пускай остаётся модель идеального бесконечного соленоида. И нет в ней ни каких противоречий. Она идеальна.

[Someone]

amon в сообщении #1671448 писал(а):

На самом деле, даже для очень длинного соленоида на постоянном токе поле снаружи соленоида ненулевое.

Ага, в 1967 году на областной олимпиаде по физике в Архангельске я на этом попался. В задаче нужно было найти магнитное поле в центре кольцевого соленоида, а на уроках говорили, что поле вне соленоида равно нулю… Остальные-то задачи я решил.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Поскольку ТС в этой теме сослался на "соседнюю" тему, в которой поначалу он и выдвинул свои возражения против модели бесконечно длинного соленоида, то добавлю пояснения к тому сюжету. (В той теме основная линия сюжета - качественные выводы о неприменимости в определённых ситуациях понятия "напряжение между точками A и В", с подтверждением в конкретном эксперименте с числовыми результатами измерений осциллографом и с их предварительной оценкой по формулам поля бесконечно длинного соленоида; речь о статье R.H. Romer, Am. J. Phys. 50, 1089 (1982)).

Автор статьи указал значения параметров:

$300\,\text{Гц}$ - частота переменного тока $I(t)$ в соленоиде; форма $I(t)$ - пилообразная, так что форма импульса примерно треугольная.

$dI/dt=\pm 1560\,\text{А}/\text{с}$ в двух частях треугольного импульса.

$l=1.04\,\text{м}$ - длина соленоида.

$a=0.05\,\text{м}$ - радиус соленоида.

$N=444$ число витков. Так что, $n=N/l\approx 427$ витков на метр.

Автор статьи отмечает, что речь в его опыте идёт об индукционных э.д.с. вблизи середины соленоида.

Если мы обозначим как $\varepsilon$ "пиковое" значение э.д.с. (примерно прямоугольной формы) в одновитковом контуре вокруг соленоида, и обозначим как $2\varepsilon \cdot \frac{1}{3}$ размах сигнала (автор называет его peak-to-peak voltage), наблюдаемого осциллографом на сопротивлении $R_1=\frac{1}{3}(R_1+R_2)$ в контуре, образованном двумя сопротивлениями, то для этой величины увидим в статье предваряющее опыт предсказание автора, сделанное, как он пишет, по указанным параметрам опыта:

$2\varepsilon \cdot \frac{1}{3}=4.4\,\text{мВ}.$

Подробный подсчёт чисел для этой оценки автор в статье не написал, но такой подсчёт элементарно воспроизводится (поэтому и опущен в статье). Для ясности выписываю такой расчёт здесь.

Первый шаг - убедимся в применимости квазистационарного приближения. Основной гармонике с частотой $f=300\,\text{Гц}$ соответствует длина ЭМ-волны $\lambda=c/f=10^6\,\text{м}.$ Треугольный периодический сигнал формально можно представить суммой бесконечного множества нечётных гармоник с амплитудами, убывающими обратно пропорционально квадрату номера гармоники. Но на практике сумма уже всего нескольких гармоник, допустим с номерами $1,3,5,7,9,$ выглядит почти как треугольный сигнал. Т.е., приняв, что на практике максимальная частота гармоники в десять, ну или даже пусть в сто раз больше основной $f,$ получим для самой маленькой длины волны оценку $10^5$ или $10^4\,\text{м}.$ Это намного больше размеров соленоида в опыте Ромера, в том числе больше и длины провода в соленоиде (она порядка сотен метров).

Таким образом, в данном опыте амплитудное значение магнитного поля $B$ внутри соленоида и вокруг соленоида можно оценивать по формулам магнитостатики - займёмся теперь этим (а об ЭМ-поправках к магнитному полю, связанных с "высокочастотностью", можно уже не думать).

Точные формулы статического поля соленоида конечных размеров есть в литературе, но они очень громоздкие. Учтём упрощающее обстоятельство: в опыте Ромера соленоид длинный - отношение его радиуса к длине есть малая величина $a/l\approx 0.05.$

Для длинного соленоида известна из литературы оценка (см., например, Am. J. Phys. 69, 751 (2001) J.Farley, R.H. Price; doi: 10.1119/1.1362694) отношения поля $B_{ext}$ снаружи вблизи соленоида к полю внутри соленоида с круглым сечением $B_{in},$ всё около его середины:

$\dfrac{B_{ext}}{B_{in}}\approx 2\left(\dfrac{a}{l}\right)^2$

В такой оценке поле $B_{ext}$ с удалением от соленоида (в плоскости его середины) поначалу не изменяется. Но затем, с дальнейшим увеличением расстояния начинает убывать, и в итоге на больших расстояниях, - там, где соленоид выглядит похожим на магнитный диполь, - поле убывает обратно пропорционально кубу расстояния. (В упомянутой выше статье 2001 года всё это иллюстрируется ещё и на графиках по численному расчёту зависимости поля от расстояния для соленоидов с разной формой поперечного сечения.)

Для рассматриваемого опыта указанная формула даёт: $B_{ext}/B_{in}\approx 5\cdot 10^{-3}.$ Т.е. поле снаружи соленоида - мало: вблизи соленоида оно составляет всего $0.5$% от поля внутри соленоида. Значит, магнитный поток снаружи соленоида через площадь порядка площади сечения соленоида составляет не более $0.5$% от магнитного потока внутри соленоида (он направлен в противоположную сторону). Через площадь в $10$ раз большую площади соленоида получится не более $5$% от от магнитного потока внутри соленоида.

Индукционная э.д.с. в контуре, тесно охватывающем соленоид, практически не зависит от $B_{ext},$ она определяется скоростью изменения магнитного потока внутри соленоида, который оценивается как $\pi a^2 B_{in}.$

Поэтому, ограничиваясь в опыте разумными условиями с точки зрения любого разумного экспериментатора, - не слишком большими площадями контуров, их достаточной близостью к соленоиду около его середины, и не идеальной точностью, а той, какая получится реально (всё это и подразумевалось в статье Ромера), - можно для предварительной оценки вообще пренебречь полем снаружи длинного соленоида. Для поля же внутри длинного соленоида приближённо применима та же формула, что и внутри бесконечно длинного соленоида; в системе СИ это

$B_{in}=\mu_0 nI,$ где $\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7}\,\text{Гн}/\text{м}.$

Тогда таким путём оцениваемая интересующая нас величина есть

$$2\varepsilon \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\pi a^2 \mu_0 n \frac{dI}{dt}=$$

$$=\dfrac{2}{3}\cdot (0.05)^2 \cdot 4\pi^2 \cdot 10^{-7}\cdot\frac{444}{1.04}\cdot 1560=4.38\cdot 10^{-3}\,\text{В}\approx 4.4\,\text{мВ}.$$

Получился ответ, как у автора статьи. Поскольку для $B_{ext}$ и $B_{in}$ здесь были применены формулы поля бесконечно длинного соленоида, то естественно назвать это оценкой в приближении бесконечно длинного соленоида. Для второго, вдвое большего сопротивления аналогичная оценка есть $2\varepsilon \cdot \frac{2}{3}=8.8\,\text{мВ}.$

Вместо предсказанных так значений эксперимент дал соответственно $4.3$ и $8.4\,\text{мВ}.$ Поэтому автор и написал, что предсказание подтвердилось с точностью $5$% (поскольку $(8.8-8.4)/8.4\approx 0.05).$ Таким образом, приближение (предельно простое по сравнению с громоздкими точными формулами и тем самым предпочтительное!) поля бесконечно длинного соленоида для предварительной оценки ожидаемых результатов опыта оказалось оправданным.

Притом, основная цель той статьи и той темы форума заключалась вовсе не в проверке применимости модели бесконечно длинного соленоида. Поэтому утверждения о противоречивости модели бесконечно длинного соленоида являются для той темы оффтопиком и затемняют там ясный основной сюжет.

[Mihr]

Someone в сообщении #1671543 писал(а):

на уроках говорили, что поле вне соленоида равно нулю…

И ведь те же самые учителя в другой раз говорят о том, что линии магнитной индукции замкнуты. И часто сами не обращают внимания на то, что эти два утверждения противоречат друг другу.
Довольно характерный пример вреда от чрезмерно упрощённых формулировок.

[EUgeneUS]

Alex-Yu в сообщении #1671522 писал(а):

Ну кГц не кГц, а на деятках МГц точно начнутся.

Там (в обсуждаемой статье из "родительской темы") соленоид - метровой длины (104 см) и 444 витка.

Alex-Yu в сообщении #1671522 писал(а):

Это знает любой радиолюбитель, который водил неонкой по дросселю БУМа Очень хорошо видны стоячие волны.

А кто не видел - может посмотреть на картинке по ссылке из этого поста:

EUgeneUS в сообщении #1671517 писал(а):

Вот тут
на странице 16 эти "чудеса" показаны наглядно, на картинке.

Alex-Yu в сообщении #1671522 писал(а):

В рамках модели конечного соленоида тоже

У конечного соленоида и провод конечный. Условия: длина провода (много) меньше длины волны в свободном пространстве, должно хватить. Нет?

-- 26.01.2025, 07:21 --

rascas в сообщении #1671542 писал(а):

Вы вывели какую то ошибочную формулу, но почему по ней не определили "размеры бедствия" (соотношение поля внутри и снаружи соленоида)?

Формула выведена из ошибочных посылок и нужна всего лишь для демонстрации: поля нет, а значит поле есть.
Подставлять в неё числовые значения бессмысленно.

-- 26.01.2025, 07:47 --

Cos(x-pi/2)
Повторю - у меня нет никаких претензий к модели конечного соленоида. Потому что
а) там все параметры конечны и их можно сравнивать, в том числе в обе стороны.
б) есть количественные оценки, в частности насколько мало поле.

То, что экспериментальная установка из обсуждаемой статьи "не вываливается из квазистатичного случая" - это было сразу понятно. И вопрос об условиях на квазистатичный случай поднял в отдельной теме (в этой).

В той дискуссии был собственно единственный повод для дискуссии: малое поле вне соленоида совсем не означает малый поток через контур вне соленоида. Даже для длинного соленоида. (А для бесконечного - означает, так как у него $\mathbf{B_{ext}} \equiv 0$).

Cos(x-pi/2) в сообщении #1671564 писал(а):

Для длинного соленоида известна из литературы оценка (см., например, Am. J. Phys. 69, 751 (2001) J.Farley, R.H. Price; doi: 10.1119/1.1362694) отношения поля $B_{ext}$ снаружи вблизи соленоида к полю внутри соленоида с круглым сечением $B_{in},$ всё около его середины:

$\dfrac{B_{ext}}{B_{in}}\approx 2\left(\dfrac{a}{l}\right)^2$

...

Для рассматриваемого опыта указанная формула даёт: $B_{ext}/B_{in}\approx 5\cdot 10^{-3}.$ Т.е. поле снаружи соленоида - мало: вблизи соленоида оно составляет всего $0.5$% от поля внутри соленоида. Значит, магнитный поток снаружи соленоида через площадь порядка площади сечения соленоида составляет не более $0.5$% от магнитного потока внутри соленоида (он направлен в противоположную сторону). Через площадь в $10$ раз большую площади соленоида получится не более $5$% от от магнитного потока внутри соленоида.

А для контура с площадью в $100$ раз большей это уже $50$% от потока внутри для этой оценки.
Контур с площадью в $100$ раз большей - это увеличение размеров в $10$ раз. То есть контур с радиусом $50$ см даст погрешность порядка 50%. А такой контур вполне укладывается на лабораторный стол.
Автор той статьи не указал длину проводов к осциллографу (указал только их цвет - черный и красный). Поэтому размер контура приходится сравнивать с размером лабораторного стола. Более того, автор указал, что черный и красный провод нужно укладывать близко, то есть он применял специальные отдельные меры для снижения площади контура.

То есть
а) модель бесконечного соленоида не применима уже к лабораторной установке в статье.
б) модель длинного, но конечного соленоида хорошо применима к лабораторной установке в статье. И даёт указания - как снизить системную погрешность. И автор статьи этими указаниями пользуется

[Alex-Yu]

в сообщении #1671565 писал(а):

У конечного соленоида и провод конечный. Условия: длина провода (много) меньше длины волны в свободном пространстве, должно хватить. Нет?

Я уже не помню, слишком много времени прошло. Но вроде (?) я получал, что В ПРЕДЕЛЕ НИЗКИХ ЧАСТОТ коэффициент замедления это шаг намотки делить на длину витка. Но это не точно, забыл. ЕСЛИ ТАК НА САМОМ ДЕЛЕ, то этого условия вроде хватит... Хотя надо еще чтобы поле было похоже на однородное, не помню условия.

А вообще забавно погонять разные частоты и посмотреть картинки распределения поля. На высоких частотах все "прижимается" к обмотке, и внутри и снаружи. Причем почти одинаковая амплитуда снаружи и внутри. Оно и понятно: внутри модифицированный бессель, а снаружи макдональд. А на низких частотах распределение поля начинает приближаться к полю на постоянном токе: почти только внутри и однородное, а на обмотке скачок почти в ноль. Когда-то даже программка была выложена на неком радиолюбительском форуме, которая это все рисует. Но сейчас найти уже вряд ли. А что помню, рассказал.

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1671564 писал(а):

Притом, основная цель той статьи и той темы форума заключалась вовсе не в проверке применимости модели бесконечно длинного соленоида. Поэтому утверждения о противоречивости модели бесконечно длинного соленоида являются для той темы оффтопиком и затемняют там ясный основной сюжет.

С этим полностью согласен. Это ещё одна причина, по которой обсуждение модели бесконечного длинного соленоида вынес в отдельную тему.
Также напомню, что
1. В этом выводе:

EUgeneUS в сообщении #1670613 писал(а):

подробное решение задачи из этого поста....

Потоки в контурах вне соленоида до какого-то момента учитывались, а потом было сказано:

EUgeneUS в сообщении #1670613 писал(а):

6. Мы может так уложить провода, чтобы минимизировать, практически свести к нулю, площадь контуров $V_1, R_1$ и $V_2, R_2$. Тогда $\Phi_1, \Phi_2 \approx 0$, и:

2. На что поступило возражение:

rascas в сообщении #1670717 писал(а):

Потоками $\Phi_1$ и $\Phi_2$ здесь вообще можно пренебречь, они малы. И как следствие, на площади для потоков $\Phi_1$ и $\Phi_2$ в этом примере в первом приближении можно внимания не обращать.
На всякий случай напомню, что для идеального, бесконечно-длинного соленоида, всё его магнитное поле внутри соленоида, снаружи соленоид магнитного поля не создаёт.

Надеюсь, что и в той теме, и уже здесь было убедительно показано, что размерность экспериментальной установки такова, что
а) пользоваться моделью бесконечного соленоида "по умолчанию" нельзя.
б) пользоваться моделью длинного, но конечно соленоида - можно и нужно.
в) при этом нужно оценивать потоки через внешние контуры, и нужно применять меры для снижения площадей внешних контуров для снижения систематической погрешности, (что и делает автор статьи).