Бесконечно длинный соленоид - внутренне противоречивая моде

[EUgeneUS]

Тут было такое утверждение:

EUgeneUS в сообщении #1670938 писал(а):

Ещё раз, "бесконечно длинный соленоид" - это модель, которая содержит внутренние противоречия.

В той теме дискуссия как-то прошла мимо этого утверждения.
Обоснование приведу позже. А пока опрос.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
И что это противоречие мешает делать?

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1671395 писал(а):

И что это противоречие мешает делать?

Применять модель бесконечно длинного соленоида, вестимо

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Так что конкретно ломается? Индуктивность не вычислить? Поле магнитное не посчитать?

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1671414 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1671395 писал(а):

И что это противоречие мешает делать?

Применять модель бесконечно длинного соленоида, вестимо

А это единственная противоречивая модель в физике?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov в сообщении #1671419 писал(а):

А это единственная противоречивая модель в физике?

Моделей, противоречащих друг другу - сколько угодно.
А вот модели, которые противоречат сами себе или теории, в рамках которой построены - это ещё поискать.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1671420 писал(а):

А вот модели, которые противоречат сами себе или теории, в рамках которой построены - это ещё поискать.

А если все-таки поискать? Что еще, кроме бесконечного соленоида?

[EUgeneUS]

Anton_Peplov в сообщении #1671421 писал(а):

А если все-таки поискать?

Поищите, если есть желание.

-- 24.01.2025, 18:09 --

EUgeneUS в сообщении #1671392 писал(а):

Обоснование приведу позже.

Если кратко, модель бесконечного длинного соленоида противоречит четвертому уравнению Максвелла.

-- 24.01.2025, 18:21 --

Подробнее.
Что мы знаем про эту модель?

У неё есть некий набор симметрий

EUgeneUS в сообщении #1671101 писал(а):

1. Есть следующие симметрии для бесконечно длинного соленоида:
а) повороты вокруг $Oz$. Значит от угла $\varphi$ ничего не зависит.
б) трансляции вдоль $Oz$.
в) антисимметрия (направление $\mathbf{B}$ меняется на противоположное) при отражении относительно плоскости $z=0$

Из которых выводится $\mathbf{B}=0$ для внешней области.

И, понятно, должны выполняться уравнения Максвелла.

Считаем, что токов нет, кроме как в самом соленоиде, зарядов нет.

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме:

$$\int\limits_{C}^{}\mathbf{E} d \mathbf{l} = - \frac{d}{dt}\int\limits_{S}^{} \mathbf{B} d \mathbf{s}$$

Пусть поток внутри соленоида меняется гармонически: $\Phi = \Phi_0 \cos \omega t$, а в качестве $C$ выберем окружность в плоскости перпендикулярной оси соленоида с центром на оси. Тогда можно переписать так:

$$ 2 \pi r E_\varphi = \omega \Phi_0 \sin \omega t$$

Поля же снаружи нет

Это вместе с $\mathbf{B}=0$ уже сразу противоречит четвертому уравнению Максвелла:

$$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

-- 24.01.2025, 18:43 --

Но доведем до абсурда.

рассмотрим $\varphi$-тую компоненту векторного уравнения:
С одной стороны,

$$[\nabla \times \mathbf{B}]_\varphi = \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r}$$

$\frac{\partial B_r}{\partial z} = 0$ - из трансляционной симметрии вдоль оси $Oz$

С другой стороны,

$$[\nabla \times \mathbf{B}]_\varphi = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E_\varphi}{\partial t} $$

В результате:

$$-\frac{\partial B_z}{\partial r} = \frac{\omega^2 \Phi_0 \cos \omega t}{2 \pi c^2 r}$$

И после интегрирования:

$$B_z = \frac{\omega^2 \Phi_0 \cos \omega t}{2 \pi c^2} \ln \frac{r_0}{r}$$

Мало того, что увеличивая частоту, мы можем сделать поле сколь угодно большим, так оно ещё и с расстоянием от соленоида падает медленнее, чем поле в цилиндрической волне
Конечно, этот результат ошибочен, но ошибка "заложена" в модели бесконечного соленоида.

[wrest]

Anton_Peplov в сообщении #1671421 писал(а):

Что еще, кроме бесконечного соленоида?

Бесконечный плоский конденсатор?

-- 24.01.2025, 19:47 --

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

Подробнее.
Что мы знаем про эту модель?

Тут кстати намедни был интересный ролик на смежную тему: https://rutube.ru/video/ab5e5c5962fb955 ... cfb5d/?r=a

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

Из которых выводится $\mathbf{B}=0$ для внешней области.

Попробуйте вывести - ничего не получится, по крайней мере для переменного тока. Собственно, с этим и связаны все "внутренние противоречия". На самом деле, даже для очень длинного соленоида на постоянном токе поле снаружи соленоида ненулевое. И это связано не с тем, что у него есть концы, а с тем, что ток течет не только поперек, но и вдоль соленоида, что создает снаружи, вдали от соленоида, в первом приближении, поле прямого провода. На переменном токе соленоид работает как антенна, излучающая электромагнитные волны. Оба эти эффекта малы по сравнению с полем внутри соленоида, и, как правило, ими можно пренебречь.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1671448 писал(а):

Попробуйте вывести - ничего не получится, по крайней мере для переменного тока.

Выводил, ссылка выше (где цитата с набором симметрий).

amon в сообщении #1671448 писал(а):

Оба эти эффекта малы по сравнению с полем внутри соленоида, и, как правило, ими можно пренебречь.

В том-то и дело, что в сравнении с полем внутри соленоида. Если сечение соленоида мало, а сечение контура вне соленоида велико по сравнению с ним, то и на малом (в этом смысле) поле набежит сравнимый поток.

amon в сообщении #1671448 писал(а):

На переменном токе соленоид работает как антенна, излучающая электромагнитные волны.

И это тоже. Причем бесконечный соленоид будет излучать на сколь угодно низкой частоте

[Alex-Yu]

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

Пусть поток внутри соленоида меняется гармонически: $\Phi = \Phi_0 \cos \omega t$,

Бесконечно длинный соленоид -- это для постоянного тока. А на переменном поле это будет спиральный волновод, в котором все уже не так. Хотя на малой длине похоже (и это "похоже" можно получить совершенно честным электродинамическим выводом). И, кстати, снаружи поле тоже есть, как правильно было замечено. Но это малая поправка. Так что не пишите глупостей. То что вы пишите, в физике называется превышение точности (смертный грех ).

[EUgeneUS]

Alex-Yu
Каждая модель должна снабжаться условиями её применимости.
Для постоянного тока (квазистатичного случая) условия применимости формулировал в той теме.
А именно: чтобы считать соленоид бесконечно длинным (и $\mathbf{B} =0$ снаружи), все линейные размеры должны быть много меньше длины соленоида, а не только диаметр соленоида.

Для переменного тока, справедливо отмечено

Alex-Yu в сообщении #1671455 писал(а):

А на переменном поле это будет спиральный волновод, в котором все уже не так. Хотя на малой длине похоже

Но тогда получается оксюморон: соленоид бесконечно длинный, но... короткий
На что собственно и собирался обратить внимание достопочтимой публики.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1671429 писал(а):

Пусть поток внутри соленоида меняется гармонически: $\Phi = \Phi_0 \cos \omega t$

А кто сказал, что так можно?

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1671460 писал(а):

А кто сказал, что так можно?

Тут два варианта: либо так можно, либо поток внутри бесконечного соленоида ровно ноль и увеличиться не может (тоже не без основательное утверждение - энергия магнитного поля бесконечная получается).