Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

О, вот и мне вчера повезло, 5-я грязная 19-ка (в 1G26):
13311508541173948862112437: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,-104, 120, 126, 132,-144, 156, 162, 180, 210,-212, 222, 240, 246, 252], len=22, valids=19

[Evgeniy82]

Yadryara в сообщении #1662595 писал(а):

Простые числа предписанные паттерном я называю родными, а лишние, которые только загрязняют кортеж — чужими. Количество родных это valids, а общее количество простых, это длина (len) :

           Родные      valids/len        Чужие
Паттерн   0   6  12
1.        5, 11, 17         3/5          7, 13
2.        7, 13, 19         3/5         11, 17
3.       11, 17, 23         3/5         13, 19
4.       17, 23, 29         3/4         19
5.       31, 37, 43         3/4         41
6.       41, 47, 53         3/4         43
7.       47, 53, 59         3/3
8.       61, 67, 73         3/4         71
9.       67, 73, 79         3/4         71

Yadryara в сообщении #1667085 писал(а):

Evgeniy82 в сообщении #1667078 писал(а):

Если в кортеже минимальное простое число больше количества простых чисел в нем, то можно утверждать, что такой кортеж может быть недопустимым?

Допустимость не от этого зависит.

А от чего?

Я исходил из: https://ru.wikibrief.org/wiki/Prime_k-tuple
"Простые созвездия
Диаметр кортежа k - это разность его наибольшего и наименьшего элементов. Допустимый простой набор из k с наименьшим возможным диаметром d (среди всех допустимых наборов из k) - это простое созвездие . Для всех n ≥ k это всегда будет давать последовательные простые числа. (Помните, что все n - целые числа, для которых значения (n + a, n + b,...) простые.)", где n - первое простое число кортежа, а оно наименьшее.

Yadryara в сообщении #1667085 писал(а):

Вот я прям подробно расписал минимальный симметричный кортеж 3-12 (3 простых числа, диаметр равен 12-ти). Например, здесь и выше.

Evgeniy82 в сообщении #1667078 писал(а):

Интересно.

Если интересно, то предлагаю поговорить в той теме, чтобы не было много тем по сути об одном и том же.

Я перешел на предложенную тему.
В расписанном Вами симметричном кортеже 3-12 так же выполнено условие $n > k$

Есть ли контрпример?

[Dmitriy40]

Evgeniy82
Очевидно что для любого кортежа длиной $k$ элементов по простому модулю $p>k$ всегда будет не менее одного допустимого остатка (вычета), так что запрета по простым $p>k$ быть не может и допустимость решается лишь по простым $p \le k$.
Правда здесь когда говорим не о реальных простых числах, а лишь о разностях между ними (типа вот таких: 0 2 6 8 или 0 6 12), то именуем их не кортежами, а паттернами, но это не принципиально.
В Ваших же словах "Если в кортеже минимальное простое число" непонятно что это за минимальное простое число в кортеже (ведь в паттерне оно всегда 0).

-- 26.12.2024, 11:55 --

Evgeniy82
Если же понимать Ваши слова как что для кортежа из $k$ простых чисел $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_k$ и $p_1>k$, то да, такое условие ни при чём, о допустимости кортежа оно ничего не говорит.
Хотя я просто не понимаю словосочетания "недопустимый кортеж", недопустимым может быть паттерн, но кортеж недопустимым быть не может, это же реальная последовательность простых чисел, как она может быть недопустимой ...

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1667209 писал(а):

О, вот и мне вчера повезло, 5-я грязная 19-ка (в 1G26):

Конграт! (Как говаривал Ньюго)

Напомню что в среднем ожидается 1 чистая 19-ка на 13 грязных. И чем выше взбираемся, тем больше доля чистых.

Evgeniy82 в сообщении #1667210 писал(а):

В расписанном Вами симметричном кортеже 3-12 так же выполнено условие $n > k$
Есть ли контрпример?

Мне о контрпримере ничего не известно. Например мы сейчас ищём кортеж из 19-ти последовательных простых чисел с минимальным диаметром 252. И проверяем числа, которые больше чем $7.8\cdot 10^{24}$. Конечно они намного больше и длины и диаметра. И даже если длину умножить на диаметр, то числа искомого кортежа всё равно будут намного больше.

Evgeniy82 в сообщении #1667210 писал(а):

Yadryara в сообщении #1667085 писал(а):

Допустимость не от этого зависит.

А от чего?

Давайте разбираться. Выше Вы видели, что есть кортеж с двумя подряд гэпами равными 6: $47-53-59$. Это минимальный чистый кортеж 3-12.

А можно ли найти кортеж с тремя подряд гэпами равными 6? Да.

А с четырьмя? Попробуйте. Не натолкнётесь ли Вы на некое теоретическое препятствие?

Чтобы избегать избыточного цитирования пользуйтесь кнопкой "Вставка".

[Evgeniy82]

Dmitriy40 в сообщении #1667211 писал(а):

Evgeniy82
Очевидно что для любого кортежа длиной $k$ элементов по простому модулю $p>k$ всегда будет не менее одного допустимого остатка (вычета), так что запрета по простым $p>k$ быть не может и допустимость решается лишь по простым $p \le k$.
Правда здесь когда говорим не о реальных простых числах, а лишь о разностях между ними (типа вот таких: 0 2 6 8 или 0 6 12), то именуем их не кортежами, а паттернами, но это не принципиально.
В Ваших же словах "Если в кортеже минимальное простое число" непонятно что это за минимальное простое число в кортеже (ведь в паттерне оно всегда 0). Вероятно поэтому Yadryara сказал что зависит не от этого.

Да, мои вопросы как раз для разрешения таких разнопониманий.
Конечно, от названия шаблона паттерном, кортежем или иным термином суть не страдает, а вид страдает.
Просто я открыл тему со словом кортеж и получил приглашение перейти на эту тему. Пусть будет паттерн.

Может и мне понравится участвовать.

Из ${n+a, n+b, ...}$, где применяются разности (0,2,6,8), где n - первое и минимальное простое число в кортеже - вот об этом и шла речь.

-- 26.12.2024, 12:19 --

Yadryara в сообщении #1667214 писал(а):

А можно ли найти кортеж с тремя подряд гэпами равными 6? Да.

А с четырьмя? Попробуйте. Не натолкнётесь ли Вы на некое теоретическое препятствие?

То есть мое понимание допустимости кортежа (не паттерна) не страдает изъяном, что мне важно, раз нет контрпримера.

Пока я не вник в вашу тему и не заразился интересом к поиску интересных не для меня сочетаний простых чисел, посмотрю со стороны на дискуссию.

А далее решу об участии.

[Yadryara]

Evgeniy82 в сообщении #1667215 писал(а):

Пока я не вник в вашу тему и не заразился интересом к поиску интересных не для меня сочетаний простых чисел, посмотрю со стороны на дискуссию.

Тут у нас дискуссия как раз более-менее заглохла. Ещё у Дмитрия были вопросы по поводу флуктуаций и по HL1. Может озвучит.

А Вам понятно вот это простое обоснование:

Dmitriy40 в сообщении #1667211 писал(а):

Очевидно что для любого кортежа длиной $k$ элементов по простому модулю $p>k$ всегда будет не менее одного допустимого остатка (вычета), так что запрета по простым $p>k$ быть не может и допустимость решается лишь по простым $p \le k$.

Выделил болдом важный термин. Иногда говорим также разрешённые остатки. Это одно и то же. А запрещённые остатки — все остальные остатки по тому или иному простому модулю $p$.

И вот эти самые допустимые остатки играют важную роль при вычислении констант HL1 (первая гипотеза Харди-Литлвуда), которые как раз присутствуют в приведённой Вами таблице.

Обратите внимание, что все паттерны из таблицы — кристаллы, то есть их нельзя загрязнить. Поэтому для них гораздо проще вычислить те самые константы HL1, чем в нашем случае, для паттерна 19-252.

Ну а я пока уточню оценку мат. ожиданий:

Yadryara в сообщении #1666234 писал(а):

Матожидания справа от этой 1-цы уменьшаются с каждым шагом в 1.094 раза. Слева — во столько же увеличиваются. Это эмпирика по реальным данным нынешнего счёта. Ещё будет уточняться.

Ну вот уточняю, сравнив сотни тысяч кортежей высшего качества 3-го периода 67# группы G21 с сотнями тысяч таких же кортежей 3-го периода 67# группы G22: не 1.094, а пока 1.112. Сбор данных продолжается.

[Evgeniy82]

По мере ознакомления с кортежами простых чисел возникают вопросы.

В частности: так как в этой теме ищутся симметричные кортежи записанные паттернами (p+a, p+b, ...), то наглядно было бы эту симметрию видеть в записи.
Например кортеж (11,13,17,19) записываемый паттерном: (0,2,6,8) представить с записью разностей соседних элементов, начиная со второго минус первый (2,4,2), где видна симметрия.
Или кортеж (23,29,31,37) записать разностями соседних элементов (6,2,6), а кортеж единственный (3,5,7) записать (2,2) - тоже симметрия относительно середины видна.

Существует ли такая запись, если да, то как называется?

Попытка моя снять такой вопрос поиском в интернете не принес результата.

[Yadryara]

Evgeniy82
Мы в кортежных темах этот вопрос подробно обсуждали. Кстати, есть ещё как минимум три кортежные темы кроме этой. Вот недавняя:

«кортежи последовательных простых. ключ к 19-252»

Мы, в частности там это обсуждали. Могу найти для Вас это место.

Кстати, довольно давно гораздо больше интересуемся именно кортежами нечётной длины. У них диаметр всегда кратен 6.

У Вас в примерах длина равна 4-м. Вы всё правильно говорите, можно и так записать паттерн.

[Yadryara]

Evgeniy82 в сообщении #1667312 писал(а):

Существует ли такая запись, если да, то как называется?

Попытка моя снять такой вопрос поиском в интернете не принес результата.

Можете назвать краткой записью. Вот, поискал для Вас. Смотрите, например, начиная с этого поста. И далее Дмитрий хорошо обосновал плюсы и минусы того или иного обозначения.

[Dmitriy40]

Демису повезло ещё больше, аж две новых valids=19, в 1G25 и 1G26:
9724203450778829638966267: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,-100, 120, 126, 132, 156, 162, 180,-184,-196, 210,-214, 222, 240, 246,-250, 252], len=24, valids=19
15320938785831428755403611: [ 0, 6, 12, 30, 42, -66, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=20, valids=19
Их стало 7шт.

Ещё ему в 1G25 попалась вторая КПППЧ18d252:
9703153574800341149001721: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120,+126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18

[Evgeniy82]

Yadryara в сообщении #1667340 писал(а):

Evgeniy82 в сообщении #1667312 писал(а):

Существует ли такая запись, если да, то как называется?

Попытка моя снять такой вопрос поиском в интернете не принес результата.

Yadryara в сообщении #1632668 писал(а):

Этот кортеж обозначается $(0, 2, 6)$. Или тройка 2-4.

Yadryara в сообщении #1632665 писал(а):

для троек 6-6

А этот $(0, 6, 12)$

Можете назвать краткой записью. Вот, поискал для Вас. Смотрите, например, начиная с этого поста. И далее Дмитрий хорошо обосновал плюсы и минусы того или иного обозначения.

Благодарю за ссылку, где даны обе формы представления и хорошие пояснения от Дмитрия (его тоже благодарю).

Заметил, что методом смещения паттерны записаны в круглых скобках, а методом интервалов без скобок. Так надо?

[Yadryara]

Ура! Ну вот теперь как раз есть повод расписать иерархию приближений.

Про отклонения уже ещё раз поговорили, теперь про valids и len. Если мы ищем 19/19, то логично наилучшими приближениями считать те, где один из параметров отличается лишь на единичку, то есть 18/19 и 19/20.

18/19 найдено, как понимаю не менее 50-ти штук. (Ровно 40 было в 1-м периоде 67#. Запомнил, что стало 46, затем не следил, отвлёкся на другое.)

19/20 наконец-то найдена! Она одна-единственная. Ещё есть 2 штуки 19/21, три штуки 19/22 и одна 19/24.

18/18 найдено вроде не больше 20-ти штук. (15 было в 1-м периоде 67#.) И они тоже очень нужны для прогноза.

-- 27.12.2024, 14:45 --

Evgeniy82 в сообщении #1667348 писал(а):

Заметил, что методом смещения паттерны записаны в круглых скобках, а методом интервалов без скобок. Так надо?

На то она и короткая запись, чтоб её покороче записывать. А длинная запись более традиционна и её (с квадратными скобками) нередко использовали в программах.

[Evgeniy82]

Dmitriy40 в сообщении #1667211 писал(а):

Если же понимать Ваши слова как что для кортежа из $k$ простых чисел $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_k$ и $p_1>k$, то да, такое условие ни при чём, о допустимости кортежа оно ничего не говорит.

Да, именно такое понимание (для кортежа из $k$ простых чисел $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_k$ и $p_1>k$) я вкладывал в допустимость и хотел контрпример.

Контрпример, похоже, имеется, я выложу его позже разрешения своего не полного понимания вот этого, тиражируемого из источника в в источник, на мой взгляд весьма туманного пояснения допустимости:

"Для того чтобы k -кортеж имел бесконечно много позиций, в которых все его значения являются простыми, не может существовать простого числа p, такого, что кортеж включает в себя все возможные значения по модулю p . Если бы такое простое число p существовало, то независимо от того, какое значение n было выбрано, одно из значений, образованных добавлением n к кортежу, будет делиться на p , поэтому единственные возможные размещения должны будут включать само p , и их может быть не более k . Например, числа в k -кортеже не могут принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае полученные числа всегда включали бы кратное 3 и, следовательно, не все могли бы быть простыми, если только одно из чисел не является самим 3.

Кортеж k , включающий все возможные остатки по модулю p, называется недопустимым по модулю p . Очевидно, что это возможно только при k ≥ p . Кортеж, не являющийся недопустимым по модулю любого простого числа, называется допустимым ".

Это одно из многих (тиражируемых, как шаблоны кортежа ) подобных пояснений для меня не полностью понятного из-за отсутствия хороших примеров, взят из: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple#References

Можно проще разъяснить это?

Из этого текста я и взял утверждение, что в допустимых кортежах должно быть число элементов меньше самого маленького простого числа в начальном кортеже.

[Yadryara]

Evgeniy82 в сообщении #1667421 писал(а):

Можно проще разъяснить это?

Не только можно, но и нужно. Возможно, и Демису пригодится.

Я же Вас специально к этому подводил:

Yadryara в сообщении #1667214 писал(а):

А можно ли найти кортеж с тремя подряд гэпами равными 6? Да.

А с четырьмя? Попробуйте. Не натолкнётесь ли Вы на некое теоретическое препятствие?

То есть кортеж по паттерну [0, 6, 12, 18] допустим, их полным-полно. А найдёте Вы хоть один кортеж по паттерну [0, 6, 12, 18, 24] ?

Поехали.

Чётные числа сразу отбрасываем. Иными словами, допустимый остаток по модулю 2 только один и равен 1-це.
Наименьшее нечётное простое — 3. Ставим его на первую позицию. Тогда следующее число 9. Остаток по модулю 3 в обоих случаях равен 0. Это недопустимый остаток. Для любого модуля. Ну не может число быть простым, если оно делится нацело на простое, кроме самого этого числа.

Берём следующее простое — 5. Остаток по модулю 3 равен 2. Остаток для числа на 2-й позиции, то есть для числа 11 по модулю 3 тоже равен 2-м. Нетрудно увидеть, что и для всех остальных чисел кортежа он будет равен 2-м.

Берём следующее простое — 7. Остаток по модулю 3 равен 1.
Снова смотрим числа на всех позициях паттерна. Тщательно расписываем остатки по самым маленьким модулям.

Попробуйте. Если что-то непонятно, спрашивайте, не стесняйтесь

[Dmitriy40]

Evgeniy82 в сообщении #1667421 писал(а):

Кортеж k , включающий все возможные остатки по модулю p, называется недопустимым по модулю p . Очевидно, что это возможно только при k ≥ p . Кортеж, не являющийся недопустимым по модулю любого простого числа, называется допустимым.

Здесь число $p$, по которому кортеж не является допустимым, не обязано быть первым в кортеже. В этом и отличие от Вашей формулировки.

Evgeniy82 в сообщении #1667421 писал(а):

Да, именно такое понимание (для кортежа из $k$ простых чисел $p_1,p_2,p_3,\ldots,p_k$ и $p_1>k$) я вкладывал в допустимость и хотел контрпример.

Такого контрпримера быть не может в силу:

Dmitriy40 в сообщении #1667211 писал(а):

Очевидно что для любого кортежа длиной $k$ элементов по простому модулю $p>k$ всегда будет не менее одного допустимого остатка (вычета), так что запрета по простым $p>k$ быть не может и допустимость решается лишь по простым $p \le k$.

Чтобы такой контрпример существовал, нужно чтобы по какому-то $p_x$ было ровно $k$ вычетов, это возможно только если $p_x=k$, т.е. в кортеж входит и $k$ тоже, что противоречит условию $p_1>k$.

С другой стороны, недопустимые кортежи всё же есть, например:
$5,7,11,13,17,23,29 \mod 7$
только он состоит не из последовательных простых чисел (19 пропущено). И соответственно я не уверен что его можно называть кортежем.
Или например кортеж
$2,3 \mod 2$
тоже недопустим и это уже точно кортеж.