О, для меня кажется что-то начинает проясняться.
Ситуация 1.
Если
![$W(n)$ $W(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/199963e82e5ef837655f4163024720a382.png)
это точное количество белых шаров на интервале
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, то проверив все
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
чисел мы гарантированно или найдём их все, или не найдём (если
![$W(n)=0$ $W(n)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/9/4294353db34848fe908126bf9a1d23c082.png)
). Никакого понятия вероятности не нужно.
Ситуация 2.
Если
![$W(M)$ $W(M)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/d/9bdbe6861f18a516d351209f3ea9652382.png)
это точное количество шаров на интервале
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, то проверив лишь
![$n<M$ $n<M$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/c/46c9f68e5243140e00db2163d989748882.png)
любых чисел из
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
мы найдём белый шар с вероятностью
![$P=1-(1-n/M)^W$ $P=1-(1-n/M)^W$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/6/936d0c98e6ef813e4b393e1171e55f1b82.png)
.
Ситуация 3.
Если
![$W(n)$ $W(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/199963e82e5ef837655f4163024720a382.png)
это
вероятность (не мат.ожидание! и не точное количество!) быть хотя бы одному белому шару на интервале
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, то проверив все
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
чисел мы найдём белый шар (не меньше одного) с вероятностью
![$W(n)$ $W(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/199963e82e5ef837655f4163024720a382.png)
.
Ситуация 4.
Если на интервале
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
есть ровно один белый шар, но проверяем мы не тотально весь интервал, а
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз выбираем
случайное число в этом интервале и проверяем его, не удаляя его из интервала (т.е. можем потом ещё не раз на него же наткнуться при выборе), то вероятность обнаружить белый шар будет
![$P=1-1/e$ $P=1-1/e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/6/ce6e114080e24751bdd20c99f044b58582.png)
(её обосновать не могу, поверю
EUgeneUS, ведь похоже на правду, численное моделирование к ней и сходится). И она меньше
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
потому что при случайном выборе чисел мы можем и будем повторно попадать на уже проверенные числа, а значит некоторые числа останутся непроверенными.
Ситуация 5.
Развивая предыдущую, проверяем случайные числа не
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз, а
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
раз, вероятность будет
![$P=1-e^{-k/n}$ $P=1-e^{-k/n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/5/b6503fd01533a10b1f36bd35031437ce82.png)
.
К сожалению это всё не наша ситуация, мы не знаем ни точного количества белых шаров, ни их вероятностей и не проверяем случайные числа. Посчитать мы можем только мат.ожидание количества белых шаров на интервале. Потому ...
Ситуация 6.
Если
![$W(n)$ $W(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/199963e82e5ef837655f4163024720a382.png)
это мат.ожидание (с известным распределением) количества белых шаров на интервале
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, то оценивать вероятность обнаружения любого из них при проверке всего интервала надо именно по распределению, беря ту область под кривой, где мат.ожидание больше
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, т.е. когда всё правее (с большим количеством) нас устраивает. Для нормального распределения (а что оно таково вроде как доказал
vicvolf) нужно больше +0.7 сигм или те самые 24%. Тут я несколько путаюсь с терминами, где мат.ожидание, распределение чего нормально, что за кривая (чего именно), но интуитивно всё сходится.
![;-) ;-)](./images/smilies/icon_wink.gif)
И это как раз наш случай, насколько понимаю.
mihaildПрошу прокомментировать эти ситуации, правильно ли я их все понимаю.
ЯННП. Если мы бросаем
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-гранный кубик
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз, то мат. ожидание числа выпадений единицы -
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
. Что такое
![$2.6$ $2.6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/7509c44aea1098662d4f444907d5a42782.png)
?
Первая гипотеза Харди-Литтвуда выдаёт нам мат.ожидание количества белых шаров на интервале
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. И оказывается что для
![$n=67\#$ $n=67\#$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/90328d0ee2a1a52bdb6b90295393409282.png)
оно не равно
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, а равно
![$0.5$ $0.5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde2d598001a947a6afd044a43d1562982.png)
. Фактически получается что на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-гранном кубике лишь
![$0.5$ $0.5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde2d598001a947a6afd044a43d1562982.png)
граней покрашены в белый цвет и кинув данный кубик
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз мы получим лишь
![$0.5$ $0.5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde2d598001a947a6afd044a43d1562982.png)
раз белую грань. Или тут тоже надо прикручивать вероятность и её распределение и
![$0.5$ $0.5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde2d598001a947a6afd044a43d1562982.png)
это мат.ожидание? Похоже да, нужно.
Тогда встаёт вопрос а сколько
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
граней кубика нужно чтобы кинув его ровно
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
раз получить белую грань (ровно? или не менее?) один раз, т.е. при каком
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
мат.ожидание количества белых граней становится равным
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
- и получается что нужно в
![$2.6$ $2.6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/7509c44aea1098662d4f444907d5a42782.png)
раза больше граней чем
![$67\#$ $67\#$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/e/22ed8ee31190f4c18e5388fab02fba8582.png)
, не в
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. Вот в этом смысле
![$2.6$ $2.6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/0/7509c44aea1098662d4f444907d5a42782.png)
.
Не знаю пояснил или запутал (и себя тоже), факт в том что мат.ожидание количества белых шаров растёт медленнее роста интервала,
![$W(67\#)=0.5, W(71\#)=11$ $W(67\#)=0.5, W(71\#)=11$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/6/8461352329d873a60808dd1fb2d2641982.png)
, не
![$35$ $35$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd669e320acfb81a7fe41de6e6523c0882.png)
. И
![$W(n)=1$ $W(n)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/9/459d216d9e1cec8a76823925ca195d1a82.png)
для
![$n=2.6\cdot67\#$ $n=2.6\cdot67\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/0/b201d7194ee4b8a0b3c07d7c27e26dd782.png)
.