В этом месте ошибки нет, но есть ошибка в разделе, озаглавленном "Счетная компактность" (Пункт 4 этого параграфа). При принятом определении счетной компактности (пространство
компактно, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку) и предельной точки (определение дал
Mikhail_K) теорема 9 не верна. Ошибка в доказательстве в том месте, когда из того, что множество
имеет предельную точку
в
выводится, что
будет предельной точкой и для множества
.
Правильное определение счëтной компактности такое: каждое бесконечное подмножество
содержит строгую предельную точку (т.е. такую точку, в любой окрестности которой лежит бесконечно много точек множества
).
Или такое: любая последовательность
имеет в
предельную точку
в том смысле, что для любой окрестности
и любого
существует номер
такой, что
. (Таково определение счётной компактности в учебнике Канторовича, Акилова по функциональному анализу)
Хотя в хаусдорфовых пространствах (даже в
пространствах) оба определения предельной точки равносильны, поэтому ошибка не слишком серьезная. Вроде бы Колмогоров, Фомин ограничиваются рассмотрением хаусдорфовых простраств.