2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение04.11.2024, 22:26 


29/10/21
75
Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение04.11.2024, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Gg322 в сообщении #1660670 писал(а):
Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?
Ошибки нет. Когда делается вывод о замкнутости, известно, что множество $X_1=(x_1,x_2,\ldots)$ (а значит и все множества $X_n$) не имеют предельных точек. И тогда указанные множества действительно замкнутые: ведь у незамкнутых множеств обязательно есть предельные точки.

-- 04.11.2024, 22:49 --

На всякий случай добавлю: по Колмогорову-Фомину, точка $x$ называется предельной для множества $M$ в топологическом пространстве, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку из $M$, не совпадающую с $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение04.11.2024, 23:03 


29/10/21
75
Mikhail_K
Все понял, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение06.11.2024, 06:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
В этом месте ошибки нет, но есть ошибка в разделе, озаглавленном "Счетная компактность" (Пункт 4 этого параграфа). При принятом определении счетной компактности (пространство $T$ компактно, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку) и предельной точки (определение дал Mikhail_K) теорема 9 не верна. Ошибка в доказательстве в том месте, когда из того, что множество $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ имеет предельную точку $x_0$ в $T$ выводится, что $x_0$ будет предельной точкой и для множества $\{x_n, x__{n+1}, \ldots\}$.

Правильное определение счëтной компактности такое: каждое бесконечное подмножество $A\subset T$ содержит строгую предельную точку (т.е. такую точку, в любой окрестности которой лежит бесконечно много точек множества $A$).
Или такое: любая последовательность $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset T$ имеет в $T$ предельную точку $x_0$ в том смысле, что для любой окрестности $U(x_0) $ и любого $N$ существует номер $n>N$ такой, что $x_n\in U(x_0) $. (Таково определение счётной компактности в учебнике Канторовича, Акилова по функциональному анализу)
Хотя в хаусдорфовых пространствах (даже в $T_1$ пространствах) оба определения предельной точки равносильны, поэтому ошибка не слишком серьезная. Вроде бы Колмогоров, Фомин ограничиваются рассмотрением хаусдорфовых простраств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение06.11.2024, 21:49 


29/10/21
75
Padawan
Правильно ли я понял. Могло случиться так, что $x_0$ и $x_1$ не отделимы, и в любой окрестности $x_0$ нет точек $x_i,i\geqslant2$, поэтому $x_0$ предельная точка для $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, но она не предельная для $\{x_n\}_{n=2}^\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка в Колмогоров - Фомин
Сообщение07.11.2024, 07:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Да, так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group