Ошибка в Колмогоров - Фомин

[Gg322]

Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?

[Mikhail_K]

Gg322 в сообщении #1660670 писал(а):

Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?

Ошибки нет. Когда делается вывод о замкнутости, известно, что множество $X_1=(x_1,x_2,\ldots)$ (а значит и все множества $X_n$) не имеют предельных точек. И тогда указанные множества действительно замкнутые: ведь у незамкнутых множеств обязательно есть предельные точки.

-- 04.11.2024, 22:49 --

На всякий случай добавлю: по Колмогорову-Фомину, точка $x$ называется предельной для множества $M$ в топологическом пространстве, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку из $M$, не совпадающую с $x$.

[Gg322]

Mikhail_K
Все понял, спасибо!