Ошибка в Колмогоров - Фомин

[Gg322]

Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?

[Mikhail_K]

Gg322 в сообщении #1660670 писал(а):

Теорема. Если $T$ - компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида: $X_n = (x_n,x_{n+1},...)$, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?

Ошибки нет. Когда делается вывод о замкнутости, известно, что множество $X_1=(x_1,x_2,\ldots)$ (а значит и все множества $X_n$) не имеют предельных точек. И тогда указанные множества действительно замкнутые: ведь у незамкнутых множеств обязательно есть предельные точки.

-- 04.11.2024, 22:49 --

На всякий случай добавлю: по Колмогорову-Фомину, точка $x$ называется предельной для множества $M$ в топологическом пространстве, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку из $M$, не совпадающую с $x$.

[Gg322]

Mikhail_K
Все понял, спасибо!

[Padawan]

В этом месте ошибки нет, но есть ошибка в разделе, озаглавленном "Счетная компактность" (Пункт 4 этого параграфа). При принятом определении счетной компактности (пространство $T$ компактно, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку) и предельной точки (определение дал Mikhail_K) теорема 9 не верна. Ошибка в доказательстве в том месте, когда из того, что множество $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ имеет предельную точку $x_0$ в $T$ выводится, что $x_0$ будет предельной точкой и для множества $\{x_n, x__{n+1}, \ldots\}$.

Правильное определение счëтной компактности такое: каждое бесконечное подмножество $A\subset T$ содержит строгую предельную точку (т.е. такую точку, в любой окрестности которой лежит бесконечно много точек множества $A$).
Или такое: любая последовательность $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset T$ имеет в $T$ предельную точку $x_0$ в том смысле, что для любой окрестности $U(x_0) $ и любого $N$ существует номер $n>N$ такой, что $x_n\in U(x_0) $. (Таково определение счётной компактности в учебнике Канторовича, Акилова по функциональному анализу)
Хотя в хаусдорфовых пространствах (даже в $T_1$ пространствах) оба определения предельной точки равносильны, поэтому ошибка не слишком серьезная. Вроде бы Колмогоров, Фомин ограничиваются рассмотрением хаусдорфовых простраств.

[Gg322]

Padawan
Правильно ли я понял. Могло случиться так, что $x_0$ и $x_1$ не отделимы, и в любой окрестности $x_0$ нет точек $x_i,i\geqslant2$, поэтому $x_0$ предельная точка для $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, но она не предельная для $\{x_n\}_{n=2}^\infty$