Теорема. Если
- компактное пространство, то каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
В книге строят центрированные множества вида:
, и говорят, что они замкнутые. Но это ведь не верно для произвольных топологических пространств?
Ошибки нет. Когда делается вывод о замкнутости, известно, что множество
(а значит и все множества
) не имеют предельных точек. И тогда указанные множества действительно замкнутые: ведь у незамкнутых множеств обязательно есть предельные точки.
-- 04.11.2024, 22:49 --На всякий случай добавлю: по Колмогорову-Фомину, точка
называется предельной для множества
в топологическом пространстве, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку из
, не совпадающую с
.