Вероятность данного значения непрерывно распред. величины

[sergey zhukov]

Вот еще одна причина, почему Ахиллес не догонит черепаху. Вероятность догнать ее в конкретный момент времени равна нулю.

[drzewo]

Mikhail_K в сообщении #1660688 писал(а):

Насколько я понимаю, drzewo имел в виду что-то вроде

Так я, ведь, сразу все и объяснил, что имел в виду:

drzewo в сообщении #1660651 писал(а):

Возьмите иглу подкиньте ее и дайте ей упасть на пол. Вот когда она у Вас встанет вертикально на острие и останется в таком положении -- вот тогда будете говорить про то, что события, вероятность которых равна нулю, тоже происходят.

Видимо, даже так оказалось сложновато для товарища, ну что поделаешь.

[StudentV]

Мне кажется, я понял свою ошибку.

Я спросил: в чем разница между пролётом молекулы через фиксированную точку и столкновением двух молекул? Это неправильный вопрос. Правильный вопрос: в чем разница между событиями "хоть какая-то молекула находится хоть где-то" и "хоть какая-то молекула столкнется хоть с какой-то молекулой"?
Ответ получается такой. Зафиксируем молекулу $M_1$ и момент времени $t$.Точки в сосуде - возможные положения молекулы $M_1$ - взаимно однозначно соответствуют элементарным исходам. Какой-нибудь исход произойдет, поэтому молекула $M_1$ окажется в какой-нибудь точке.
Точек, в которых в данный момент находятся другие молекулы, конечное число. Поэтому вероятность события "молекула $M_1$ столкнется с другой молекулой" равна нулю, хотя это событие и возможно.
Возьмем другую молекулу $M_2$ и проведем для неё те же рассуждения. И у неё вероятность столкнуться с другой молекулой в момент $t$ тоже будет равна нулю. И т.д. Поскольку молекул конечное число, вероятность события "хоть какая-то молекула столкнется хоть с какой-то молекулой" будет равна нулю, в отличие от события "хоть какая-то молекула находится хоть где-то".

Выходит, что если молекулы - материальные точки, то столкновения хоть каких-то молекул придется ждать неопределённо долго. Так же долго, как пролёта молекулы сквозь фиксированную точку.

Приношу извинения всем за проявленную непонятливость.

[drzewo]

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$. Какова была вероятность, что она примет значение $c$? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$. Но событие произошло.

Событие произошло, но не то про которое Вы подумали. Произошло событие
<<случайная величина $X$ приняла одно из своих возможных значений>> -- вероятность этого события равна единице, и оно вполне наблюдаемо.

Вы там Венцель цитируете, и она пишет <<заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>>
Так вот это самое событие, которое состоит в том, что << произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>> -- может иметь, вообще говоря, какую угодно вероятность, в частности ненулевую, и следовательно, быть наблюдаемым.

-- 05.11.2024, 04:19 --

StudentV в сообщении #1660676 писал(а):

Из того, что событие $X = \alpha$ имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться

вообще-то ровно это и следует$(^*)$. Просто это событие (вероятность которого равна нулю) не надо путать с другими событиями ненулевой вероятности см. выше.

$(^*)$ не вдаваясь в обсуждение разницы между <<невозможно>> и <<возможно, но не случается>>

[StudentV]

drzewo в сообщении #1660698 писал(а):

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$. Какова была вероятность, что она примет значение $c$? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$. Но событие произошло.

Событие произошло, но не то про которое Вы подумали. Произошло событие
<<случайная величина $X$ приняла одно из своих возможных значений>> -- вероятность этого события равна единице, и оно вполне наблюдаемо.

Вы там Венцель цитируете, и она пишет <<заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>>
Так вот это самое событие, которое состоит в том, что << произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>> -- может иметь, вообще говоря, какую угодно вероятность, в частности ненулевую, и следовательно, быть наблюдаемым.

-- 05.11.2024, 04:19 --

StudentV в сообщении #1660676 писал(а):

Из того, что событие $X = \alpha$ имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться

вообще-то ровно это и следует$(^*)$. Просто это событие (вероятность которого равна нулю) не надо путать с другими событиями ненулевой вероятности см. выше.

$(^*)$ не вдаваясь в обсуждение разницы между <<невозможно>> и <<возможно, но не случается>>

Давайте попробуем перевести это на язык вероятностного пространства. Есть множество элементарных исходов $\Omega$. Есть $\sigma$-алгебра $\Sigma$ подмножеств $\Omega$, элементы $\Sigma$ называются событиями. Есть $\sigma$-аддитивная, нормированная на единицу, мера $P$ на алгебре $\Sigma$ - вероятность.

Пусть $\Omega = \mathbb R$ и $\Sigma$ - борелевская $\sigma$-алгебра над $\mathbb R$. Получаем, если я не путаю термины, непосредственно заданную на $\mathbb R$ случайную величину. (Вообще говоря, $\Omega$ может отличаться от $\mathbb R$, и тогда случайную величину надо определять как измеримую функцию $\Omega \to \mathbb R$. Но то, что я хочу продемонстрировать, удобнее продемонстрировать на непосредственно заданной случайной величине).

Дано, что случайная величина непрерывна. Отсюда следует, что для любого $x \in \mathbb R$ вероятность события $\{x\}$ равна нулю.

В результате опыта реализуется какой-нибудь элементарный исход, то есть случайная величина принимает какое-то значение $c$. Из этого следует, что произошли все события $A \in \Sigma$ такие, что $c \in A$. В том числе и событие $\{c\}$, имевшее нулевую вероятность. А событие "произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю" - это событие $\mathbb R$. Оно тоже произошло, одновременно с событием $\mathbb R$ и прочими событиями, содержащими элемент $c$.

В чем ошибка в этом рассуждении?

[mihaild]

StudentV в сообщении #1660708 писал(а):

В чем ошибка в этом рассуждении?

С математической точки зрения - в использовании неопределенного понятия "исход реализуется" / "событие произошло". Что было сказано в начале темы.

dgwuqtj в сообщении #1660657 писал(а):

Понятие "произошло" в теории вероятностей используют только неформально

[StudentV]

mihaild в сообщении #1660714 писал(а):

С математической точки зрения - в использовании неопределенного понятия "исход реализуется" / "событие произошло".

Вентцель пишет в учебнике для ВТУЗов.

Цитата:

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина $X$ должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако, в исходе опыта случайная величина $X$ непременно примет одно из своих возможных значений, т. е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Здесь она использует слова "производится опыт", "произойдет одно из событий". Можно ли перевести вышепроцитированное на язык вероятностных пространств? В определениях и обозначениях моего примера, здесь у Вентцель сказано что $P(\{c\}) = 0, P(\mathbb R) = 1$? Это плюс что-то еще? Совсем не это?

[mihaild]

StudentV в сообщении #1660715 писал(а):

в учебнике для ВТУЗов

StudentV в сообщении #1660715 писал(а):

Здесь она использует слова "производится опыт", "произойдет одно из событий". Можно ли перевести вышепроцитированное на язык вероятностных пространств?

Мне такой способ неизвестен.
Т.е. Ваши утверждения про меры множеств, конечно, правильные. Но это всё, что можно сказать, и про "что-то произошло" уже непонятно как говорить.

[Red_Herring]

StudentV в сообщении #1660715 писал(а):

Вентцель пишет в учебнике для ВТУЗов.

Если вам хочется строгих рассуждений, не читайте никаких учебников, кроме для как для математиков (и даже это не гарантирует полной строгости), а если читаете, то не жалуйтесь. Если вы пытаетесь совместить учебник для втузов и теорию меры, то попытайтесь совместить огурцы с молоком во время приема пищи--тогда у вас будет, чем заняться в ближайшее время.

[StudentV]

Спасибо всем за комментарии и попытки помочь.

[EUgeneUS]

StudentV
С точки зрения математики Вам более-менее объяснили.
А теперь с точки зрения физики и прочей метрологии. Раз уж Вы привлекали физические аналогии.

Что значит "некая физическая величина $X$ приняла значение $y$"?
Это отнюдь не означает, что величина $X$ приняла значение $y$" точно!
Это означает, что физическую величину $X$ измерили и получили значение $y$. А абсолютно точных измерений не бывает. То есть измерения $y$ физической величины $X$ сами по себе являются случайной величиной, как-то там распределенной, и кстати, отнюдь не непрерывно.

[StudentV]

Из физики я обсуждал только газ с молекулами - материальными точками. Это заведомо идеализированная модель. Обработка реальных измерений - совсем другая тема.

EUgeneUS в сообщении #1660732 писал(а):

То есть измерения $y$ физической величины $X$ сами по себе являются случайной величиной, как-то там распределенной, и кстати, отнюдь не непрерывно.

Почему не непрерывно? Вполне непрерывно, только не равномерно, а, например, в виде гауссианы.

[EUgeneUS]

StudentV в сообщении #1660735 писал(а):

Почему не непрерывно? Вполне непрерывно, только не равномерно, а, например, в виде гауссианы.

Обиясняю.
Пусть Вы получили значение $1.001$, и таки понимаете, что это значение не точное, а таки гауссиана, с пиком в $0.001$, и какой-то $\sigma$.
Но Вы не можете получить измерение со значением $1.0010001$, например.
А если и такое можете, то не можете получить измерение со значением $1.00100010000$,
Считывание значения со шкалы Вам всегда даст дискретное значение.

[StudentV]

Ладно, хорошо. Не будем обсуждать обработку измерений.

[EUgeneUS]

StudentV в сообщении #1660738 писал(а):

Ладно, хорошо. Не будем обсуждать обработку измерений.

хехе.
Тогда, что Вы вообще хотели обсудить в стартовом топике? Вот тут, например:

StudentV в сообщении #1660639 писал(а):

Пусть случайная величина распределена $X$ непрерывно с дифференциальным законом распределения $f(x)$. Дано: в результате опыта величина приняла значение $c$.

Что это такое "в результате опыта"?