Пусть случайная величина распределена
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
непрерывно с дифференциальным законом распределения
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
. Дано: в результате опыта величина приняла значение
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Какова была вероятность, что она примет значение
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку
![$P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$ $P(X = c) = \int\limits_c^c f(x)dx=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/e/e5e2db7d950d1812080d28efee2850d482.png)
. Но событие произошло.
Событие произошло, но не то про которое Вы подумали. Произошло событие
<<случайная величина
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
приняла одно из своих возможных значений>> -- вероятность этого события равна единице, и оно вполне наблюдаемо.
Вы там Венцель цитируете, и она пишет <<заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>>
Так вот это самое событие, которое состоит в том, что << произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>> -- может иметь, вообще говоря, какую угодно вероятность, в частности ненулевую, и следовательно, быть наблюдаемым.
-- 05.11.2024, 04:19 --Из того, что событие
![$X = \alpha$ $X = \alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/7/8e78267320000cae51927d42efb21c5082.png)
имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться
вообще-то ровно это и следует
![$(^*)$ $(^*)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/9/869421b69c9ac5ba4360579295f015b782.png)
. Просто это событие (вероятность которого равна нулю) не надо путать с другими событиями ненулевой вероятности см. выше.
![$(^*)$ $(^*)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/9/869421b69c9ac5ba4360579295f015b782.png)
не вдаваясь в обсуждение разницы между <<невозможно>> и <<возможно, но не случается>>
Давайте попробуем перевести это на язык вероятностного пространства. Есть множество элементарных исходов
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
. Есть
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебра
![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
подмножеств
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
, элементы
![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
называются событиями. Есть
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-аддитивная, нормированная на единицу, мера
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
на алгебре
![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
- вероятность.
Пусть
![$\Omega = \mathbb R$ $\Omega = \mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/6/77634950733d3c09ae36ed0a9845cc6582.png)
и
![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
- борелевская
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебра над
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
. Получаем, если я не путаю термины, непосредственно заданную на
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
случайную величину. (Вообще говоря,
![$\Omega$ $\Omega$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/9432d83304c1eb0dcb05f092d30a767f82.png)
может отличаться от
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
, и тогда случайную величину надо определять как измеримую функцию
![$\Omega \to \mathbb R$ $\Omega \to \mathbb R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60cc71f746d2310421879ae32205903582.png)
. Но то, что я хочу продемонстрировать, удобнее продемонстрировать на непосредственно заданной случайной величине).
Дано, что случайная величина непрерывна. Отсюда следует, что для любого
![$x \in \mathbb R$ $x \in \mathbb R$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/3/4330e1453f7ff63b685bc8562904421982.png)
вероятность события
![$\{x\}$ $\{x\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/f/80f85fea158e9e8fc4a826f56087b28d82.png)
равна нулю.
В результате опыта реализуется какой-нибудь элементарный исход, то есть случайная величина принимает какое-то значение
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Из этого следует, что произошли все события
![$A \in \Sigma$ $A \in \Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/f/86fe32f2d692796d5f9f1f339d13147a82.png)
такие, что
![$c \in A$ $c \in A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/8/548048bba0a6adc4b4a9591da02aab7582.png)
. В том числе и событие
![$\{c\}$ $\{c\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/54503bfb2865a3ed5bb8f924c557ab2282.png)
, имевшее нулевую вероятность. А событие "произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю" - это событие
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
. Оно тоже произошло, одновременно с событием
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
и прочими событиями, содержащими элемент
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
.
В чем ошибка в этом рассуждении?