Пусть случайная величина распределена
непрерывно с дифференциальным законом распределения
. Дано: в результате опыта величина приняла значение
. Какова была вероятность, что она примет значение
? По-моему, эта вероятность была равна нулю, поскольку
. Но событие произошло.
Событие произошло, но не то про которое Вы подумали. Произошло событие
<<случайная величина
приняла одно из своих возможных значений>> -- вероятность этого события равна единице, и оно вполне наблюдаемо.
Вы там Венцель цитируете, и она пишет <<заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>>
Так вот это самое событие, которое состоит в том, что << произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю>> -- может иметь, вообще говоря, какую угодно вероятность, в частности ненулевую, и следовательно, быть наблюдаемым.
-- 05.11.2024, 04:19 --Из того, что событие
имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться
вообще-то ровно это и следует
. Просто это событие (вероятность которого равна нулю) не надо путать с другими событиями ненулевой вероятности см. выше.
не вдаваясь в обсуждение разницы между <<невозможно>> и <<возможно, но не случается>>
Давайте попробуем перевести это на язык вероятностного пространства. Есть множество элементарных исходов
. Есть
-алгебра
подмножеств
, элементы
называются событиями. Есть
-аддитивная, нормированная на единицу, мера
на алгебре
- вероятность.
Пусть
и
- борелевская
-алгебра над
. Получаем, если я не путаю термины, непосредственно заданную на
случайную величину. (Вообще говоря,
может отличаться от
, и тогда случайную величину надо определять как измеримую функцию
. Но то, что я хочу продемонстрировать, удобнее продемонстрировать на непосредственно заданной случайной величине).
Дано, что случайная величина непрерывна. Отсюда следует, что для любого
вероятность события
равна нулю.
В результате опыта реализуется какой-нибудь элементарный исход, то есть случайная величина принимает какое-то значение
. Из этого следует, что произошли все события
такие, что
. В том числе и событие
, имевшее нулевую вероятность. А событие "произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю" - это событие
. Оно тоже произошло, одновременно с событием
и прочими событиями, содержащими элемент
.
В чем ошибка в этом рассуждении?