Почему вспомогательная функция в доказательстве именно такая

[EminentVictorians]

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

Тема с дробями - не такая уж и простая, кстати говоря. Тоже не хочу уводить тему в оффтоп, просто скажу, что я сам более-менее нормально понял, в чем суть дробей, может быть разве что год-два назад.

[evdokimovm]

talash в сообщении #1659917 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

Ну тут всё более менее очевидно, можно быстро в деталях разобраться. А вот мне интересно, Вы уже довольно таки далеко зашли в математике, всё другое, что было раньше, Вам понятно откуда взялось? Например, почему при умножении минус на минус даёт плюс, а не, например, минус. Что это? Некое объективное математическое правило или правило введённое из каких-то практических соображений? Не хочу чтобы тема ушла в обсуждение этого вопроса, поэтому, просто ответьте понимаете тут почему так?

Честно говоря нет. Вот конкретно такие вещи почему-то воспринимаются уже как что-то само собой разумеющееся.

Знаете, я вообще проанализировал для себя всю эту ситуацию и внезапно для себя пришел к тому что ни за что так сильно не цеплялся как за детали именно в данной теореме. Для меня здесь вообще ничего не очевидно. Я не понимаю (я уже понял что не надо так сильно заострять на этом внимание, но все таки) хода мыслей того кто изначально придумал это доказательство. Я не понимаю как этот кто-то вообще пришел к тому что остаток равен вот именно n+1'й (то есть следующей) производной в последовательности. То есть, как я это вижу, он просто взял и выдвинул гипотезу о том что остаток равен "вот этому", потому что оно похоже на все что идет до него и мы можем ожидать (чисто интуитивно) что он вот такой и доказал что это именно так. Но это уже, кажется, выходит за рамки моего изначального вопроса.

Для примера. Я даже с темой разделения переменных в простейших дифференциальных уравнениях так долго не зависал. Как-то увидел вопрос, в нем было что-то типа "а вы понимаете почему мы можем разделять переменные путем умножения обеих частей уравнения на dy? ведь dy/dx это не дробь а такая нотация" что-то такое было в общем. Ну и что, нашел статью https://kevinboone.me/separation_variables.html которая все взяла и простым языком объяснила.

Вот мои основное интересы это все что связано с прикладным программированием, а самостоятельно изучать математику я начал когда понял что программист если в перспективе хочет заниматься задачами хотя бы чуть поинтереснее (даже если в виде хобби) то должен разбираться в математике. Хоть не много. Так вот, в программировании часто когда видишь алгоритм его можно объяснить и понять "почему он такой". Здесь же это вообще не работает.

[Padawan]

А я придумал док-во остаточного члена в форме Лагранжа через теорему Коши. Похоже на док-во остаточного члена в форме Пеано.

(Оффтоп)

[drzewo]

(Оффтоп)

evdokimovm в сообщении #1659959 писал(а):

Ну и что, нашел статью https://kevinboone.me/separation_variables.html которая все взяла и простым языком объяснила.

Формальное изложение метода разделения переменных можно построить нак.
Имеется система

$$\frac{dy}{dx}=\frac{u(x)}{v(y)}.\qquad (*)$$

Предположим, что $u\in C(x_1,x_2),\quad v\in C(y_1,y_2)$ и $v$ не обращается вноль.
Пусть $U(x), V(y)$ -- первообразные: $U'=u,\quad V'=v$.
Теорема. Функция $f(x,y)=U(x)-V(y)$ является первым интегралом системы (*) на квадрате $P=(x_1,x_2)\times (y_1,y_2)$.
Доказательство: прямая проверка.
Поскольку, $f_y\ne 0$ локально можно решить уравнение $f(x,y)=f(x_0,y_0)$ относительно $y$ в окрестности любой точки $(x_0,y_0)\in P$.
Cответствующее решение $y(x)$ будет удовлетворять (*) и начальным условиям $y(x_0)=y_0$.

[evdokimovm]

Мне в голову пришел вот какой вопрос. Вот взять эту функцию из книги Рудина (в ОП посте):

$g(t) = f(t) - P(t) - M(t - a)^n$

Эта функция должна быть равна 0 в двух точках, чтобы применить теорему Ролля. Это уже давно понятно. Но разве эта функция не означает, что для любой функции, для которой мы можем построить ряд Тейлора, следующая разность: $f - P - M(t - a)^n$ тоже всегда должна быть равна 0 в каких-то двух точках? Я имею в виду, где $f$ - точная функция, $P$ - разложение Тейлора функции $f$, а $M(t - a)^n$ - остаток.

-- 03.11.2024, 08:38 --

Я ведь еще создавал вопрос на Math StackExchange и дали мне там вот такой комментарий:

Цитата:

You ask whether a way to try to solve problems is "really valid". Mathematicians do not do all their scratch work using strict logic. They play around with various ideas, sometimes based on guesses or intuition. The role of experience can't be ignored. What seems what like an unmotivated step to one person can seem natural to another. In this case, we hope the remainder has a certain appearance and play around to make that work out. You see in writing only the end result.

Меня больше всего удивляет вот этот момент:

Цитата:

In this case, we hope the remainder has a certain appearance and play around to make that work out.

We hope, понимаете? We, hope.

Ну что это такое Если я уже с этим надоел, то я прошу прощения, но я скажу.

Мне математики всегда представлялись как люди которые понимают "откуда в сыре дырочки". Как люди которые в своих работах всегда отталкиваются от строгой и обоснованной логики. А тут выясняется что математики оказывается могут "надеяться" (я понимаю как это звучит, простите).

Ну и что в итоге? Получается не только функцию $g(t)$ выдумали но и саму форму остатка тоже просто "выдумали", в надежде что это сработает и оп-па, сработало? Действительно, вышло что остаток и правда такой и "надежды" оправдались?

А еще, собственно, по теме, мне подали вот такую идею:

Цитата:

As we think about $f(t) = P(t) + error$ we would expect that the $error$ would grow in line with $(t-A)^n$ . We can express this by decomposing the error as $h(t)(t-A)^n$ , and hoping that $h(t)$ is well-behaved (i.e. doesn't really grow as $t$ moves away from $A$). This isn't me pulling a function $h$ out of a hat, this is just giving a label for whatever the error is when divided by $(t-A)^n$.

So we've got as far as $f(t) = P(t) + h(t)(t-A)^n$

Now this is the (slightly) subtle bit: if we want to specifically calculate (or at least put a bound on) $h(t)$ at some specific point $B$, in other words say something about $h(B)$ (which we can call $M$ for convenience), we can sort of do a new expansion of $h(t)$ around $t = B$: $h(t) = M + k(t)$ where $k(B) = 0$. (You might even think of writing $k(t)$ as $j(t)(t-B)$ because you'd expect a linear term to factor out, but it turns out that's unnecessary detail). Again, the function $k(t)$ is not something I've pulled out of a hat, it's just a useful way of splitting $h$ into these two parts.

So now I've got

$f(t) = P(t) + (M + k(t))(t-A)^n$

which I can write

$f(t) = P(t) + M(t-A)^n + k(t)(t-A)^n$

At this point we realise that we know $k(t)(t-A)^n$ is $0$ when $t = A$ and when $t = B$, and think about applying the MVT to the function $k(t)(t-A)^n$ . This suggests, it might be easier to write $k(t)(t-A)^n$ as a single function and see where that gets us. We call this single function $g(t)$ for convenience; again not pulled out of a hat, just finally the realisation that $f(t)$ can be split into these three parts:

$f(t) = P(t) + M(t-A)^n + g(t)$

and while we know how the first two parts behave we want to understand the third part, so writing $g(t) = f(t) - P(t) - M(t-A)^n$ is just a way of focussing the mind on the residual error term.

Это уже хоть что-то.

[Rak so dna]

evdokimovm в сообщении #1660462 писал(а):

We hope, понимаете? We, hope.

Ну что это такое Если я уже с этим надоел, то я прошу прощения, но я скажу.

Мне математики всегда представлялись как люди которые понимают "откуда в сыре дырочки". Как люди которые в своих работах всегда отталкиваются от строгой и обоснованной логики. А тут выясняется что математики оказывается могут "надеяться" (я понимаю как это звучит, простите).

Ну и что в итоге? Получается не только функцию $g(t)$ выдумали но и саму форму остатка тоже просто "выдумали", в надежде что это сработает и оп-па, сработало? Действительно, вышло что остаток и правда такой и "надежды" оправдались?

Вы хотите, чтобы математика была построена как набор тривиальных следствий из очевидных утверждений? Это не так, смиритесь с этим. В подавляющем большинстве случаев происходит именно то, что вам и написали:

1. интуитивная догадка
2. попытка доказать
3.1. получилось -> имеем теорему
3.2. не получилось -> вернуться к п.1.