Почему вспомогательная функция в доказательстве именно такая

[EminentVictorians]

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

Тема с дробями - не такая уж и простая, кстати говоря. Тоже не хочу уводить тему в оффтоп, просто скажу, что я сам более-менее нормально понял, в чем суть дробей, может быть разве что год-два назад.

[evdokimovm]

talash в сообщении #1659917 писал(а):

evdokimovm в сообщении #1659902 писал(а):

Но, с другой стороны, ведь без этих обдумываний мы не будем понимать откуда взялись даже такие простые правила как, ну например: когда мы делим дробь на дробь, мы дробь переворачиваем и меняем деление на умножение. Или это все таки другое? Где эта граница проходит?

Ну тут всё более менее очевидно, можно быстро в деталях разобраться. А вот мне интересно, Вы уже довольно таки далеко зашли в математике, всё другое, что было раньше, Вам понятно откуда взялось? Например, почему при умножении минус на минус даёт плюс, а не, например, минус. Что это? Некое объективное математическое правило или правило введённое из каких-то практических соображений? Не хочу чтобы тема ушла в обсуждение этого вопроса, поэтому, просто ответьте понимаете тут почему так?

Честно говоря нет. Вот конкретно такие вещи почему-то воспринимаются уже как что-то само собой разумеющееся.

Знаете, я вообще проанализировал для себя всю эту ситуацию и внезапно для себя пришел к тому что ни за что так сильно не цеплялся как за детали именно в данной теореме. Для меня здесь вообще ничего не очевидно. Я не понимаю (я уже понял что не надо так сильно заострять на этом внимание, но все таки) хода мыслей того кто изначально придумал это доказательство. Я не понимаю как этот кто-то вообще пришел к тому что остаток равен вот именно n+1'й (то есть следующей) производной в последовательности. То есть, как я это вижу, он просто взял и выдвинул гипотезу о том что остаток равен "вот этому", потому что оно похоже на все что идет до него и мы можем ожидать (чисто интуитивно) что он вот такой и доказал что это именно так. Но это уже, кажется, выходит за рамки моего изначального вопроса.

Для примера. Я даже с темой разделения переменных в простейших дифференциальных уравнениях так долго не зависал. Как-то увидел вопрос, в нем было что-то типа "а вы понимаете почему мы можем разделять переменные путем умножения обеих частей уравнения на dy? ведь dy/dx это не дробь а такая нотация" что-то такое было в общем. Ну и что, нашел статью https://kevinboone.me/separation_variables.html которая все взяла и простым языком объяснила.

Вот мои основное интересы это все что связано с прикладным программированием, а самостоятельно изучать математику я начал когда понял что программист если в перспективе хочет заниматься задачами хотя бы чуть поинтереснее (даже если в виде хобби) то должен разбираться в математике. Хоть не много. Так вот, в программировании часто когда видишь алгоритм его можно объяснить и понять "почему он такой". Здесь же это вообще не работает.

[Padawan]

А я придумал док-во остаточного члена в форме Лагранжа через теорему Коши. Похоже на док-во остаточного члена в форме Пеано.

(Оффтоп)

[drzewo]

(Оффтоп)

evdokimovm в сообщении #1659959 писал(а):

Ну и что, нашел статью https://kevinboone.me/separation_variables.html которая все взяла и простым языком объяснила.

Формальное изложение метода разделения переменных можно построить нак.
Имеется система

$$\frac{dy}{dx}=\frac{u(x)}{v(y)}.\qquad (*)$$

Предположим, что $u\in C(x_1,x_2),\quad v\in C(y_1,y_2)$ и $v$ не обращается вноль.
Пусть $U(x), V(y)$ -- первообразные: $U'=u,\quad V'=v$.
Теорема. Функция $f(x,y)=U(x)-V(y)$ является первым интегралом системы (*) на квадрате $P=(x_1,x_2)\times (y_1,y_2)$.
Доказательство: прямая проверка.
Поскольку, $f_y\ne 0$ локально можно решить уравнение $f(x,y)=f(x_0,y_0)$ относительно $y$ в окрестности любой точки $(x_0,y_0)\in P$.
Cответствующее решение $y(x)$ будет удовлетворять (*) и начальным условиям $y(x_0)=y_0$.