2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 13:47 
Админ форума


02/02/19
2468
 i  Выделена тема «Математические модели размножения мух»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Третий пример.
В глыбе гранита есть немного урана. Его распад происходит по экспоненте (с отрицательным показателем), и после серии превращений получается свинец. Как меняется содержание свинца?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 15:11 


31/08/17
34
Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.

Логарифм - изменение количества обратно пропорционально самому количеству (википедия). Чем больше атомов распадается, тем меньше их становится, тем меньше их начинает распадаться, тем меньше их становится и т д. Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Хочется такую же краткую и интуитивно понятную фразу для интегрирования экспоненты.

Был интересный пример со следами от мух (при условии, что одна муха оставляет только один след на окне). Экспонента - это скорость размножения мух. Тогда число следов, появляющихся на окне - это тоже экспонента. Грязное окно играет роль интегрирующего устройства, которое "копит" следы (к следам, которые появились раньше добавляются новые следы).

Но хочется бытовой пример или пример из техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 16:36 


05/09/16
12038
wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше. :mrgreen:

-- 01.11.2024, 16:52 --

wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Но хочется бытовой пример или пример из техники.

Тут есть такая тонкость, что неопределенный интеграл -- это семейство функций. Тогда как производная -- это конкретная функция. Производная - это локальное свойство функции, в конкретной точке.
Правильная запись неопределенного интеграла от экспоненты такая $\int e^x dx = e^x+C$ а не такая $\int e^x dx = e^x$
Численные значения может иметь определенный интеграл. Но они зависят от пределов интегрирования.
Я думаю, что вышеописанное как-то связано с вашими затруднениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:16 


31/08/17
34
wrest в сообщении #1660300 писал(а):
Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше.

Ну я образно написал. там какая-то нелинейная зависимость. Типа лук натягивать сперва легко, потом трудно, потом опять легко. И с шариками также.

Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:28 


05/09/16
12038
wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):
Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

Хозяин-барин, но вы же хотите чтоб была наглядная иллюстрация в природе/технике? В случае экспоненты это означает интегрирование от минус бесконечности ибо чтобы получить экспоненту, надо записать например так:
$\int \limits_{-\infty}^t e^x dx=e^t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9089
Цюрих
wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):
берем все константы за нуль
Все - это значение на минус бесконечности, в нуле, и синус от значения в $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:49 


31/08/17
34
Ну кстати интересно, экспонента же начинается не в нуле, а в минус бесконечности. А в нуле она - единица. Никогда не задумывался об этом. Я почему-то всегда думал, что она выходит из нуля.

Если ось X это время, то в нуле уже есть одна муха? А если нет мух, то с какой точки тогда считают экспоненциальный рост мух? Экспоненту искусственно сдвигают к нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.


Это неверно. Закон изменения количества радиоактивного элемента экспоненциальный. $C_t=e^{-\alpha t}$ Обусловлено это тем, что "атомы не имеют возраста", и вероятность распада для каждого одинакова. То есть изменение их числа описывается уравнением $y'=-\alpha y$
Что до примера с мухами - я имел в виду не тривиальный вариант с единственным пятном от каждой мухи, тогда число пятен равнялось бы числу мух, а ситуацию, когда мухи оставляют пятна с некоторой интенсивностью, так что число пятен - интеграл от числа мух (умноженного на интенсивность пятнообразования в расчёте на муху).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group