2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 13:47 
Админ форума


02/02/19
2519
 i  Выделена тема «Математические модели размножения мух»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Третий пример.
В глыбе гранита есть немного урана. Его распад происходит по экспоненте (с отрицательным показателем), и после серии превращений получается свинец. Как меняется содержание свинца?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 15:11 


31/08/17
34
Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.

Логарифм - изменение количества обратно пропорционально самому количеству (википедия). Чем больше атомов распадается, тем меньше их становится, тем меньше их начинает распадаться, тем меньше их становится и т д. Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Хочется такую же краткую и интуитивно понятную фразу для интегрирования экспоненты.

Был интересный пример со следами от мух (при условии, что одна муха оставляет только один след на окне). Экспонента - это скорость размножения мух. Тогда число следов, появляющихся на окне - это тоже экспонента. Грязное окно играет роль интегрирующего устройства, которое "копит" следы (к следам, которые появились раньше добавляются новые следы).

Но хочется бытовой пример или пример из техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 16:36 


05/09/16
12061
wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше. :mrgreen:

-- 01.11.2024, 16:52 --

wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Но хочется бытовой пример или пример из техники.

Тут есть такая тонкость, что неопределенный интеграл -- это семейство функций. Тогда как производная -- это конкретная функция. Производная - это локальное свойство функции, в конкретной точке.
Правильная запись неопределенного интеграла от экспоненты такая $\int e^x dx = e^x+C$ а не такая $\int e^x dx = e^x$
Численные значения может иметь определенный интеграл. Но они зависят от пределов интегрирования.
Я думаю, что вышеописанное как-то связано с вашими затруднениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:16 


31/08/17
34
wrest в сообщении #1660300 писал(а):
Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше.

Ну я образно написал. там какая-то нелинейная зависимость. Типа лук натягивать сперва легко, потом трудно, потом опять легко. И с шариками также.

Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:28 


05/09/16
12061
wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):
Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

Хозяин-барин, но вы же хотите чтоб была наглядная иллюстрация в природе/технике? В случае экспоненты это означает интегрирование от минус бесконечности ибо чтобы получить экспоненту, надо записать например так:
$\int \limits_{-\infty}^t e^x dx=e^t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):
берем все константы за нуль
Все - это значение на минус бесконечности, в нуле, и синус от значения в $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 17:49 


31/08/17
34
Ну кстати интересно, экспонента же начинается не в нуле, а в минус бесконечности. А в нуле она - единица. Никогда не задумывался об этом. Я почему-то всегда думал, что она выходит из нуля.

Если ось X это время, то в нуле уже есть одна муха? А если нет мух, то с какой точки тогда считают экспоненциальный рост мух? Экспоненту искусственно сдвигают к нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение01.11.2024, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):
Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.


Это неверно. Закон изменения количества радиоактивного элемента экспоненциальный. $C_t=e^{-\alpha t}$ Обусловлено это тем, что "атомы не имеют возраста", и вероятность распада для каждого одинакова. То есть изменение их числа описывается уравнением $y'=-\alpha y$
Что до примера с мухами - я имел в виду не тривиальный вариант с единственным пятном от каждой мухи, тогда число пятен равнялось бы числу мух, а ситуацию, когда мухи оставляют пятна с некоторой интенсивностью, так что число пятен - интеграл от числа мух (умноженного на интенсивность пятнообразования в расчёте на муху).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: eugensk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group