Как представить экспоненту через интегрирование наглядно

[Ende]

Выделена тема «Математические модели размножения мух»

[Евгений Машеров]

Третий пример.
В глыбе гранита есть немного урана. Его распад происходит по экспоненте (с отрицательным показателем), и после серии превращений получается свинец. Как меняется содержание свинца?

[wxthplvl65]

Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.

Логарифм - изменение количества обратно пропорционально самому количеству (википедия). Чем больше атомов распадается, тем меньше их становится, тем меньше их начинает распадаться, тем меньше их становится и т д. Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Хочется такую же краткую и интуитивно понятную фразу для интегрирования экспоненты.

Был интересный пример со следами от мух (при условии, что одна муха оставляет только один след на окне). Экспонента - это скорость размножения мух. Тогда число следов, появляющихся на окне - это тоже экспонента. Грязное окно играет роль интегрирующего устройства, которое "копит" следы (к следам, которые появились раньше добавляются новые следы).

Но хочется бытовой пример или пример из техники.

[wrest]

wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):

Шар сдувается - оболочка давит слабее, шар начинает сдуваться слабее, оболочка давит еще слабее и т д.

Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше.

-- 01.11.2024, 16:52 --

wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):

Но хочется бытовой пример или пример из техники.

Тут есть такая тонкость, что неопределенный интеграл -- это семейство функций. Тогда как производная -- это конкретная функция. Производная - это локальное свойство функции, в конкретной точке.
Правильная запись неопределенного интеграла от экспоненты такая $\int e^x dx = e^x+C$ а не такая $\int e^x dx = e^x$
Численные значения может иметь определенный интеграл. Но они зависят от пределов интегрирования.
Я думаю, что вышеописанное как-то связано с вашими затруднениями.

[wxthplvl65]

wrest в сообщении #1660300 писал(а):

Это не так работает. Из двух одинаковых, давление больше в том шарике, что надут меньше.

Ну я образно написал. там какая-то нелинейная зависимость. Типа лук натягивать сперва легко, потом трудно, потом опять легко. И с шариками также.

Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

[wrest]

wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):

Насчет семейства функций - берем все константы за нуль.

Хозяин-барин, но вы же хотите чтоб была наглядная иллюстрация в природе/технике? В случае экспоненты это означает интегрирование от минус бесконечности ибо чтобы получить экспоненту, надо записать например так:
$\int \limits_{-\infty}^t e^x dx=e^t$

[mihaild]

wxthplvl65 в сообщении #1660302 писал(а):

берем все константы за нуль

Все - это значение на минус бесконечности, в нуле, и синус от значения в $\pi$?

[wxthplvl65]

Ну кстати интересно, экспонента же начинается не в нуле, а в минус бесконечности. А в нуле она - единица. Никогда не задумывался об этом. Я почему-то всегда думал, что она выходит из нуля.

Если ось X это время, то в нуле уже есть одна муха? А если нет мух, то с какой точки тогда считают экспоненциальный рост мух? Экспоненту искусственно сдвигают к нулю?

[Евгений Машеров]

wxthplvl65 в сообщении #1660295 писал(а):

Уран распадается по логарифму. Экспонента - изменение количества пропорциональна самому количеству.

Это неверно. Закон изменения количества радиоактивного элемента экспоненциальный. $C_t=e^{-\alpha t}$ Обусловлено это тем, что "атомы не имеют возраста", и вероятность распада для каждого одинакова. То есть изменение их числа описывается уравнением $y'=-\alpha y$
Что до примера с мухами - я имел в виду не тривиальный вариант с единственным пятном от каждой мухи, тогда число пятен равнялось бы числу мух, а ситуацию, когда мухи оставляют пятна с некоторой интенсивностью, так что число пятен - интеграл от числа мух (умноженного на интенсивность пятнообразования в расчёте на муху).