2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 16:29 


31/08/17
34
Уважаемые участники! Производная экспоненты - это тоже экспонента. Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине. Размножаются мухи. Чем больше мух, тем быстрее они размножаются, тем больше их становится, тем сильнее они размножаются и так далее лавинообразно.

А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты? Интеграл экспоненты - это тоже экспонента. То есть площадь под экспонентой растет тоже как экспонента.

Может какая-нибудь нагрузка на плотину? Растет высота плотины - растет сечение бетона, из которого сделана плотина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 16:38 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):
Это можно представить так: есть какая-то величина, скорость ее роста пропорциональна самой этой величине
Называется дифур $y'=k y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 17:41 


21/12/16
812
Добавлю. Решение $x(t)$ задачи Коши $\dot x=x,\quad x(0)=1$ можно взять за определение экспоненты: $\exp t:=x(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 17:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13878
уездный город Н
wxthplvl65 в сообщении #1660106 писал(а):
А какой процесс можно придумать для интегрирования экспоненты?


Всё тоже самое, только наоборот (с) :wink:

Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12547
То есть, если мухи дохнут — это экспонента, а если не дохнут, то тоже экспонента? Философичненько!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 18:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13878
уездный город Н
Утундрий
Если мухи дохнут, то это логистическая кривая

Цитата:
После публикации статьи о скорости роста населения США [3], Пирл осуществил в своей лаборатории широкомасштабную программу исследований популяции плодовых мух дрозофилы (Drosophila melanogaster).

Опыты, проведенные с целью определить по какой траектории увеличивается численность популяции мух в ограниченном пространстве и при ограниченных пищевых ресурсах, показали, что в лабораторных условиях колония мух дрозофилы демонстрирует рост по траектории логистической кривой[5].

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение30.10.2024, 22:50 


31/08/17
34
EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):
Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.

Не, это можно отнести к любой функции. Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 01:32 


05/09/16
12075
wxthplvl65
wxthplvl65 в сообщении #1660142 писал(а):
Надо именно для экспоненты, обладающей уникальными свойствами.

Синусы и косинусы обладают теми же, по сути, свойствами...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 03:09 


31/08/17
34
Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9918
Москва
Жадный и трусливыйБережливый и предусмотрительный рантье живёт на проценты с капитала, оставленного дедушкой-пиратом, не трогая тело вклада. Причём все не проедает, а из 6% годовых, выплачиваемых банком, половину кладёт на тот же счёт, так что тот прирастает по экспоненте на 3% в год, треть тратит на себя, а шестую часть вкладывает в золото. Как меняется сумма в сейфе, принимая, что цена золота неизменна (для правдоподобия предположения - дело происходит в XIX веке)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 08:55 
Аватара пользователя


11/12/16
13878
уездный город Н
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 09:45 


05/09/16
12075
wxthplvl65 в сообщении #1660146 писал(а):
Ну синусы и косинусы другими свойствами обладают.

Зависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9918
Москва
EUgeneUS в сообщении #1660118 писал(а):
Пусть "некая величина" - это и есть "скорость", например, скорость размножения мух. И это - экспонента.
Тогда "количество", например, количество мух это интеграл от экспоненты.


Неряха и лентяй Вася никак не соберётся выбросить мусор и помыть засиженные мухами окна. Благодаря неисчерпаемому пищевому резерву скорость размножения мух не ограничена ресурсами и их число растёт экспоненциально. Как меняется число мушиных следов на окнах, принимая, что за время наблюдения мухи только рождались, а не дохли, и оставляли следы с постоянной интенсивностью? И, разумеется, Вася за тряпку и не брался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Да сколько же можно - мухи двухполые, они не по экспоненте размножаются!...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как представить экспоненту через интегрирование наглядно
Сообщение31.10.2024, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9918
Москва
wrest в сообщении #1660154 писал(а):
ависит от точки зрения
$\int e^x dx=e^x+C$
Но
$\frac{1}{2i}\int \limits_{-iz}^{iz}e^x dx= \sin(z)$
:mrgreen:


Ещё проще.
$e^{ix}=\cos x +i\sin x$
Что, кстати, интимно связано с вопросом топикстартера.
Поскольку $y'=ky$ это уравнение экспоненты, а $y''=ky$ - синусоиды (при отрицательном k). А если очень хочется - переписать, вместо производных интегралы...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group