Ошибка ли в символах Кристоффеля

[DariaRychenkova]

Теорема (о символах Кристоффеля).

Коэффиииенты $\Gamma_{i j}^k$ симметричны по нижним индексам и могут быть вычислены по формуле

$$ \Gamma_{i j}^k=\frac{1}{2} \sum_l g^{k l}\left(\frac{\partial g_{i l}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{l j}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^l}\right) $$

Доказательство. Про равенство $\Gamma_{i j}^k=\Gamma_{j i}^k$ уже говорилось выше. Теперь рассмотрим производную коэффициента первой формы:

$$(39). \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial u^k} g_{i j} & =\frac{\partial}{\partial u^k}\left\langle\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j\right\rangle=\left\langle\mathbf{r}_{i k}, \mathbf{r}_j\right\rangle+\left\langle\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_{j k}\right\rangle= \\ & =\left\langle\sum_p \Gamma_{i k}^p \mathbf{r}_p+b_{i k} \mathbf{n}, \mathbf{r}_j\right\rangle+\left\langle\mathbf{r}_i, \sum_q \Gamma_{j k}^q \mathbf{r}_q+b_{j k} \mathbf{n}\right\rangle= \\ & =\sum_p \Gamma_{i k}^p g_{p j}+\sum_q \Gamma_{j k}^q g_{i q} . \end{aligned} $$

Эти соотношения можно рассматривать как систему линейных уравнений на $\Gamma_{i j}^k$. Покажем, как можно из этих соотношений получить явное выражение для $\Gamma_{i j}^k$.

В (39) переставим $i, j, k$ по циклу:

$$ (40). \frac{\partial}{\partial u^j} g_{k i}=\sum_p \Gamma_{k j}^p g_{p i}+\sum_q \Gamma_{i j}^q g_{k q} . $$

Переставим еще раз:

$$(41). \frac{\partial}{\partial u^i} g_{j k}=\sum_p \Gamma_{j i}^p g_{p k}+\sum_q \Gamma_{k i}^q g_{j q} . $$

Теперь сложим (40) с (41) и вычтем (39):

$$ \frac{\partial g_{k i}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{j k}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^k}=2 \sum_p \Gamma_{i j}^p g_{p k} $$

Обратите внимание, что здесь мы использовали симметричность матрицы $\left(g_{i j}\right)$ и симметричность символов Кристоффеля по нижним индексам.

Домножим полученное равенство на $g^{k m}$ и просуммируем по $k$ :

$$ \begin{aligned} & \sum_k g^{k m}\left(\frac{\partial g_{k i}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{j k}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^k}\right)=2 \sum_k \sum_p \Gamma_{i j}^p g_{p k} g^{k m}= \\ &= 2 \sum_p \Gamma_{j i}^p \sum_k g_{p k} g^{k m}=2 \sum_p \Gamma_{j i}^p \delta_p^m=2 \Gamma_{i j}^m \end{aligned} $$

что и требовалось.

Мне непонятно

Почему в уравнениях (40) во втором слагаемом последовательность коэффициентов $ijk$ , а не $kij$.

Это ошибка, или я запуталась? Я не понимаю символы Кристоффеля?

[Утундрий]

Совершенно нечитабельная нотация... Используйте индекс после запятой для обозначения частного дифференцирования. Видней же будет, какой индекс куда пошёл.

[DariaRychenkova]

Утундрий
Порекомендуйте, пожалуйста, где можно посмотреть в других терминах, а то уже в трёх лекциях разных лекторов так видела.

Так быстрее понимание прийдёт

[dgwuqtj]

DariaRychenkova в сообщении #1660080 писал(а):

Почему в уравнениях (40) во втором слагаемом последовательность коэффициентов $ijk$ , а не $kij$.

Потому что в нём изначально были индексы $jki$, которые поменялись по циклу $k \to j \to i \to k$. Просто одновременная замена всех этих буковок.

[Утундрий]

$$g_{ik} := \langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,k} \rangle , \quad \Gamma_{sik} := \langle \mathbf r_{,s} | \mathbf r_{,ik} \rangle$$

$g_{ik,s} = \langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,k} \rangle {}_{,s}=\langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,ks} \rangle+\langle \mathbf r_{,is} | \mathbf r_{,k} \rangle=\Gamma_{iks}+\Gamma_{kis} $

$i\to k\to s\to i$

$g_{ik,s}=\Gamma_{iks}+\Gamma_{kis}$
$g_{ks,i}=\Gamma_{ksi}+\Gamma_{ski}$
$g_{si,k}=\Gamma_{sik}+\Gamma_{isk}$

$g_{ik,s}-g_{ks,i}+g_{si,k}=\Gamma_{iks}+\begin{xy}*{\Gamma_{kis}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\begin{xy}*{\Gamma_{ksi}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\begin{xy}*{\Gamma_{ski}};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy} +\begin{xy}*{\Gamma_{sik}};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy}+\Gamma_{isk}=2 \,\Gamma_{iks}$

[DariaRychenkova]

dgwuqtj

Спасибо Вам огромное!!!

С циклом запуталась

Было такое неверное рассуждение:
Изначально было jki

Берём цикл jkijkijki...
j kij kijki

Отсюда нужен kij

-- 30.10.2024, 09:46 --

Утундрий
Спасибо и Вам!