Теорема (о символах Кристоффеля). Коэффиииенты
симметричны по нижним индексам и могут быть вычислены по формуле
Доказательство. Про равенство
уже говорилось выше. Теперь рассмотрим производную коэффициента первой формы:
Эти соотношения можно рассматривать как систему линейных уравнений на
. Покажем, как можно из этих соотношений получить явное выражение для
.
В (39) переставим
по циклу:
Переставим еще раз:
Теперь сложим (40) с (41) и вычтем (39):
Обратите внимание, что здесь мы использовали симметричность матрицы
и симметричность символов Кристоффеля по нижним индексам.
Домножим полученное равенство на
и просуммируем по
:
что и требовалось.
Мне непонятно Почему в уравнениях (40) во втором слагаемом последовательность коэффициентов
, а не
.
Это ошибка, или я запуталась? Я не понимаю символы Кристоффеля?