2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 01:53 


14/11/21
64
Теорема (о символах Кристоффеля).

Коэффиииенты $\Gamma_{i j}^k$ симметричны по нижним индексам и могут быть вычислены по формуле
$$
\Gamma_{i j}^k=\frac{1}{2} \sum_l g^{k l}\left(\frac{\partial g_{i l}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{l j}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^l}\right)
$$
Доказательство. Про равенство $\Gamma_{i j}^k=\Gamma_{j i}^k$ уже говорилось выше. Теперь рассмотрим производную коэффициента первой формы:
$$(39). 
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial u^k} g_{i j} & =\frac{\partial}{\partial u^k}\left\langle\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j\right\rangle=\left\langle\mathbf{r}_{i k}, \mathbf{r}_j\right\rangle+\left\langle\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_{j k}\right\rangle= \\
& =\left\langle\sum_p \Gamma_{i k}^p \mathbf{r}_p+b_{i k} \mathbf{n}, \mathbf{r}_j\right\rangle+\left\langle\mathbf{r}_i, \sum_q \Gamma_{j k}^q \mathbf{r}_q+b_{j k} \mathbf{n}\right\rangle= \\
& =\sum_p \Gamma_{i k}^p g_{p j}+\sum_q \Gamma_{j k}^q g_{i q} .
\end{aligned}
$$

Эти соотношения можно рассматривать как систему линейных уравнений на $\Gamma_{i j}^k$. Покажем, как можно из этих соотношений получить явное выражение для $\Gamma_{i j}^k$.

В (39) переставим $i, j, k$ по циклу:
$$ (40). 
\frac{\partial}{\partial u^j} g_{k i}=\sum_p \Gamma_{k j}^p g_{p i}+\sum_q \Gamma_{i j}^q g_{k q} .
$$

Переставим еще раз:
$$(41). 
\frac{\partial}{\partial u^i} g_{j k}=\sum_p \Gamma_{j i}^p g_{p k}+\sum_q \Gamma_{k i}^q g_{j q} .
$$


Теперь сложим (40) с (41) и вычтем (39):
$$
\frac{\partial g_{k i}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{j k}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^k}=2 \sum_p \Gamma_{i j}^p g_{p k}
$$

Обратите внимание, что здесь мы использовали симметричность матрицы $\left(g_{i j}\right)$ и симметричность символов Кристоффеля по нижним индексам.

Домножим полученное равенство на $g^{k m}$ и просуммируем по $k$ :
$$
\begin{aligned}
& \sum_k g^{k m}\left(\frac{\partial g_{k i}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{j k}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial u^k}\right)=2 \sum_k \sum_p \Gamma_{i j}^p g_{p k} g^{k m}= \\
&= 2 \sum_p \Gamma_{j i}^p \sum_k g_{p k} g^{k m}=2 \sum_p \Gamma_{j i}^p \delta_p^m=2 \Gamma_{i j}^m
\end{aligned}
$$

что и требовалось.

Мне непонятно

Почему в уравнениях (40) во втором слагаемом последовательность коэффициентов $ijk$ , а не $kij$.

Это ошибка, или я запуталась? Я не понимаю символы Кристоффеля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 03:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Совершенно нечитабельная нотация... Используйте индекс после запятой для обозначения частного дифференцирования. Видней же будет, какой индекс куда пошёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 06:36 


14/11/21
64
Утундрий
Порекомендуйте, пожалуйста, где можно посмотреть в других терминах, а то уже в трёх лекциях разных лекторов так видела.

Так быстрее понимание прийдёт

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 07:57 
Заслуженный участник


07/08/23
1103
DariaRychenkova в сообщении #1660080 писал(а):
Почему в уравнениях (40) во втором слагаемом последовательность коэффициентов $ijk$ , а не $kij$.

Потому что в нём изначально были индексы $jki$, которые поменялись по циклу $k \to j \to i \to k$. Просто одновременная замена всех этих буковок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
$$g_{ik} := \langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,k} \rangle , \quad \Gamma_{sik} := \langle \mathbf r_{,s} | \mathbf r_{,ik} \rangle$$$g_{ik,s} = \langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,k} \rangle {}_{,s}=\langle \mathbf r_{,i} | \mathbf r_{,ks} \rangle+\langle \mathbf r_{,is} | \mathbf r_{,k} \rangle=\Gamma_{iks}+\Gamma_{kis}
$

$i\to k\to s\to i$

$g_{ik,s}=\Gamma_{iks}+\Gamma_{kis}$
$g_{ks,i}=\Gamma_{ksi}+\Gamma_{ski}$
$g_{si,k}=\Gamma_{sik}+\Gamma_{isk}$

$g_{ik,s}-g_{ks,i}+g_{si,k}=\Gamma_{iks}+\begin{xy}*{\Gamma_{kis}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\begin{xy}*{\Gamma_{ksi}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}-\begin{xy}*{\Gamma_{ski}};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy}
+\begin{xy}*{\Gamma_{sik}};p+UL;+DR**h@{-}\end{xy}+\Gamma_{isk}=2 \,\Gamma_{iks}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка ли в символах Кристоффеля
Сообщение30.10.2024, 09:45 


14/11/21
64
dgwuqtj

Спасибо Вам огромное!!!

С циклом запуталась

Было такое неверное рассуждение:
Изначально было jki

Берём цикл jkijkijki...
j kij kijki

Отсюда нужен kij

-- 30.10.2024, 09:46 --

Утундрий
Спасибо :-) и Вам!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group