Скорость во вращающейся системе отсчета.

[manul91]

peg59 в сообщении #1657235 писал(а):

Правильно. Этот же объект в неподвижной ИСО вращается с линейной скоростью $(\Omega - \omega)R$. Но его линейная скорость во вращающейся системе совсем другая.

То что линейная скорость одного и того же объекта относительно двух разных систем отсчета разная - не новость. Это так еще и в Ньютоне: )

[peg59]

manul91 в сообщении #1657236 писал(а):

Это так еще и в Ньютоне

Да, конечно. Вы правы.

[Someone]

https://dxdy.ru/post982171.html#p982171

Это по теме дискуссии. Я не уверен, что там есть что-то новое по сравнению с данной темой (я не осилил всё сразу разобрать), но, может быть, кому-нибудь что-нибудь будет понятнее.

[pppppppo_98]

Someone в сообщении #1657254 писал(а):

Это по теме дискуссии. Я не уверен, что там есть что-то новое по сравнению с данной темой (я не осилил всё сразу разобрать), но, может быть, кому-нибудь что-нибудь будет понятнее.

на этом очередной раз можно сворачивать очередной обсуждение очередного хитрого лоренцева сокращения ...аминь

[peg59]

Мне только остались непонятными углы и угловая скорость. Как определяются углы во вращающейся системе? Это ведь уже не отношение длины дуги к радиусу? Или действительно полный угол $> 2 \pi$? Или надо пользоваться определением угла через скалярное произведение?

[epros]

peg59, так углы же определяются в точке, например, в центре вращающейся СО. Почему бы не взять отношение длины дуги к её радиусу (бесконечно малому)?

[peg59]

epros в сообщении #1657309 писал(а):

так углы же определяются в точке,

Ага. А то я зашоренно представляю себе центральные углы, опирающиеся на дугу соответствующего радиуса. Получается, величина дуги, отсекаемой данным углом, в такой геометрии зависит от радиуса.

-- 04.10.2024, 13:01 --

Разбирая обсуждения по ссылке Someone, наткнулся на учебник (Л. Я. Арифов, Общая теория относительности и тяготение. 1983). Бегло полистал, залез, конечно, в параграф 15 "Вращающаяся система отсчета".
В нем, кроме всего прочего, говорится, что пространство с метрикой

$$ dl^2 = dr^2 + \frac{r^2d\varphi^2}{1-\omega^2r^2}+ dz^2 \eqno 1.143$$

не является подпространством Минковского (коэффициенты второй квадратичной формы не удовлетворяют условиям Гаусса и Кодации). То есть, в мире Минковского не существует гиперповерхности с метрикой (1.143).

Вопрос такой. Насколько вообще правомерно из общей 4-метрики $g_{ik}$ выделять пространственную метрику $\gamma_{\alpha\beta}$ при наличии ненулевых $g_{0\alpha}$ ?
И как в результате безобидного преобразования координат пространственная метрика вдруг "выпала" из 4-пространства Минковского? Это действительно так?

[oleg_2]

В офтопе для Someone

(Оффтоп)

Someone
Здравствуйте. Да что ж такое? Где Вы пропадали 2 года? Очень я рад, что Вы снова с нами. И пожалуйста больше не пропадайте.
Я читал многие Ваши сообщения в темах по СТО, и во многом благодаря Вашим сообщениям я познал азы СТО. На большее я не замахиваюсь, но и азы это тоже не мало. Большое спасибо.

[Утундрий]

peg59 в сообщении #1657338 писал(а):

Насколько вообще правомерно из общей 4-метрики $g_{ik}$ выделять пространственную метрику $\gamma_{\alpha\beta}$ при наличии ненулевых $g_{0\alpha}$ ?

Настолько же, насколько правомерно обмениваться световыми сигналами.

peg59 в сообщении #1657338 писал(а):

как в результате безобидного преобразования координат пространственная метрика вдруг "выпала" из 4-пространства Минковского?

Автор объясняет это в следующем абзаце.

[peg59]

Утундрий в сообщении #1657388 писал(а):

Автор объясняет это в следующем абзаце.

Только я не понимаю, что там написано. Ладно. Опустим это. Этот учебник мне не по зубам.

(Оффтоп)

Это какая-то альтернативная ОТО? У автора получаются разные скорости света (как и у меня получались сверхсветовые скорости в решении, за что меня тут справедливо раскритиковали) при измерении времени прохождения светового сигнала по контуру по единственным часам. И сразу 3-пространство вкладывается в пространство Минковского?

[Утундрий]

peg59 в сообщении #1657426 писал(а):

я не понимаю, что там написано.

Там написано, что не в любых координатах локальные гиперплоскости одновременности складываются в глобальную гиперповерхность.

[peg59]

Утундрий в сообщении #1657429 писал(а):

не в любых координатах локальные гиперплоскости одновременности складываются в глобальную гиперповерхность.

Я считал, гиперплоскости одновременности определяются мировой линией наблюдателя, а вовсе не координатами. Я просвещался этой статьей.

[manul91]

manul91 в сообщении #1656983 писал(а):

peg59 в сообщении #1656981 писал(а):

Думаете? Надо посчитать.

Уверен. Считайте. Только стандартным радаром, таким же каким пользуются в ИСО (не подстраивать конструкцию радара под СО, а то мало ли). Насчет "направлений" и пр. - свет во вращающейся СО вообще-то не прямолинейно движется. Поэтому только близкие (локальные) измерения скорости радаром осмысленны (типа дерево мелькает мимо, меряем его скорость неподвижным радаром на ободе).

В данном случае рассчет тривиальный, не требует ничего кроме школьной математики (плюс учет того, что согласно СТО время движущихся часов замедлено на фактор гамма по отношению времени ИСО).
Итак сценарий:
На ободе вращающегося диска радиусом $R$, сидит гашник с радаром (лазерным дальномером). Непосредственно до периферии диска - в поле растет "дерево". С каждом обороте диска, дерево проходит мимо гаишника. Когда дерево в непосредственной близости - гаишник измеряет его скорость "относительно себя" радарным способом предложенным peg59, а именно - дважды последовательно замеряет расстояние от себя до дерева дальномером, и потом делит разницу этих расстояний на промежуток времени прошедший между замерами (по своим собственным часам).
Как "работает" радар чтобы измерить расстояние: измеряет промежуток времени между двух своих событий: события ухода излученного сигнала (в момент $t_0$), и события прихода обратно отраженного сигнала (в момент $t_1$) по собственным часам. Этот промежуток времени $t_1 - t_0$ умножается на $\frac{c}{2}$ - и полученное число считается расстоянием $dl$ до объекта в момент времени СО радара $t_0 + \frac{t_1 - t_0}{2}$ (в физической конструкции радара "зашито" предположение, что скорость сигнала всегда равна $c$).

Для упрощения вычислений, без ограничений можно считать что первый замер гаишник совершает в самом событии встречи с деревом. Очевидно отраженный сигнал займет $0$ времени и соответно расстояние до дерева в события встречи будет определено гаишником как нулевым.
Ему осталось измерить расстояние до дереве еще один раз - начиная замер через дифференциально-малом промежутке времени после встречи - он посылает второй раз сигнал туда-сюда (вслед за убегающим деревом).

Все далее рассчитывается из кинематики движения периферии в ИСО.

Считаем что момент встречи произошел в момент по времени ИСО $T=0$, и в тот же момент часы радара также выставлены на собственные показания $\tau=0$.

Пусть следующий замер начинается когда дерево удаляясь, уже имеет "фору" $dL$ от гаишника по периферии (все обозначения и рассчеты, проводятся в ИСО).
Т.е. начало замера (отсылка сигнала) выполняется в момент ИСО $dT = \frac{dL}{v}$, и в тот же момент отсылки сигнала радарные часы показывают "время ухода" $d\tau = \frac{dL}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $
Промежуток времени туда-сюда, по времени ИСО будет равным:

$$dT_{full} = dT_{+} + dT_{-} = \frac{dL}{c} + \frac{dL+ v\frac{dL}{c}}{c-v} = \frac{2dL}{c-v} \eqno(1)$$

где смысл обозначений:
$dT_{full}$ - промежуток времени туда-обратно (по часам ИСО): с событии ухода, до событии прихода отраженного сигнала обратно к радару
$dT_{+}$ - промежуток времени "туда", прошедший в ИСО пока сигнал преодолеет расстояние $dL$ с гаишника до дереве
$dT_{-}$ - промежуток времени "обратно", прошедший в ИСО пока отраженный сигнал вернется обратно догоняя убегающего гаишника (который в момент отражения сигнала, уже отстоит от дереве на расстоянии $dL + v\frac{dL}{c}$)
$v = \Omega R$ - константа, линейная скорость движения периферии диска в ИСО

Поскольку радарные часы замедлены на фактор гамма относно времени ИСО, промежуток времени туда-обратно по радарным часам окажется равным:

$$d\tau_{full} = dT_{full}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{2dL\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c-v} \eqno(2)$$

Следовательно радар (по своей конструкции), определит что объект был на расстоянии

$$dl = d\tau_{full}\frac{c}{2} = \frac{cdL\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c-v} \eqno(3)$$

в момент времени его системе отсчета

$$d\tau + \frac{d\tau_{full}}{2} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{dL}{v} + \frac{dL\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c-v} = \frac{cdL}{v(c-v)}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \eqno(4)$$

Итак, радар определил что в момент $0$ по его часам дерево было на расстоянии $0$; а в момент (4) по его часам дерево было на расстоянии (3).

Деля (3) на (4), гаишник (или сам радар, если в нем такое измерение скорости встроено) получает "радарную скорость" дерева в его системе отсчета (в окрестности события встречи) равной $v$ т.е. той же самой, как и скорость обода диска радиусом $R$ (на котором он сидит) относно ИСО.

Существенно что замер делался в дифференциально-малой близости к событию встречи (на отстоянии $dL$ в ИСО); если бы дельт считали конечными то в формул появился бы вклад из-за криволинейности траектории радара в ИСО.

[pppppppo_98]

manul91 в сообщении #1657465 писал(а):

На ободе вращающегося диска радиусом $R$, сидит гашник с радаром (лазерным дальномером). Непосредственно до периферии диска - в поле растет "дерево". С каждом обороте диска, дерево проходит мимо гаишника. Когда дерево в непосредственной близости - гаишник измеряет его скорость "относительно себя" радарным способом предложенным peg59, а именно - дважды последовательно замеряет расстояние от себя до дерева дальномером, и потом делит разницу этих расстояний на промежуток времени прошедший между замерами (по своим собственным часам).

Замечу первое... Измерение длины ведется радарным методом. То есть заканчивается измерение получение наблюдателем сигнала от противоположного конца линейки сигнала ака пересечение мировой линии наблюдателя и мировой линии медиума сигнала (причем не важно со скорость света или нет будет распостраняться сигнал, и будет ли замедляющая среда посредине- будет лишь меняться вид скалярной функции , которая задержку сигнала будет пересчитывать в длину)...

А не так как вы мне ранее описывали дескать синхронизированные часы и приемники в двух точках которые в двух точках и которые принимают сигналы от концов стержня. Таким образом расстояние не измерить - наблюдатель должен знать что закончен эксперимент, особенно когда заранее длина с стержня неизвестна.

ЗЫ

В целом в ваш расчет это как раз расчет измерения стержня в СТО ( отсылки к ободу вращающегося колеса имеют минорное значение)...

[pppppppo_98]

peg59 в сообщении #1657440 писал(а):

Я считал, гиперплоскости одновременности определяются мировой линией наблюдателя, а вовсе не координатами.

ну и в приведенной же вами статье - есть обсуждение пространства риндлера ... дык "поверхности одновременности" существуют только в области U (для остальной части ПВ минковского относительно равномерно ускоренного наблюдателя один или оба сигнала не пройдут), о чем Утундрий вам и говорит .. Это еще одно из многочисленных свидетельств - что отношение одновременности заканчивается вместе с бесконечной скорость распостранения сигнала(когда можно ввести абсолютное время), даже не смотря на формально координат независиое определение в статье этого понятия