Скорость во вращающейся системе отсчета.

[realeugene]

Скорость бегуна в одну сторону - это скорость солнечного зайчика.

[peg59]

sergey zhukov, спасибо. Мне нужно это обдумать. Особенно то, что часы не синхронизированы с самими собой.

[sergey zhukov]

Все же получилось, что скорость неподвижного в системе подвижного равна (с минусом) скорости подвижного в системе неподвижного. Так мне и казалось с самого начала. Потому, что движущийся со скоростью $r\Omega$ касательно к ободу наблюдатель синхронизирует часы в локальной области так же точно, как и наблюдатель на ободе. Тогда задача сводится к двум инерциальным наблюдателям. Но, похоже, что в нестационарной метрике это не обязательно так.

Еще интересный момент для себя открыл. Если нам известно, что у вектора трехмерной скорости в искривленном пространстве только одна ненулевая компонента $u^\varphi$, то это не значит, что модуль скорости будет ей равен, как этого ожидаешь в случае плоского пространства. Модуль будет равен $u=\sqrt{u^\varphi u_\varphi}$

(Оффтоп)

Кстати, пару опечаток в этом томе я заметил:

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1657004 писал(а):

Еще интересный момент для себя открыл. Если нам известно, что у вектора трехмерной скорости в искривленном пространстве только одна ненулевая компонента $u^\varphi$, то это не значит, что модуль скорости будет ей равен, как этого ожидаешь в случае плоского пространства. Модуль будет равен $u=\sqrt{u^\varphi u_\varphi}$

Всё верно: координаты могут быть в любых единицах измерения, а в модуле скорости нам нужны те самые метры, в которых выражена метрика. Только нужно не забыть, что так как буквочки там греческие, то для поднятия/опускания индексов нужно пользоваться трёхмерной метрикой, которая индуцирована на этом трёхмерном сечении четырехмерного многообразия четырехмерной метрикой.

[sergey zhukov]

peg59 в сообщении #1656665 писал(а):

В формуле (88,10) справа три индекса $\alpha$ , это явно опечатка. Немые индексы в знаменателе надо заменить на $\beta$ , это же свёртка?

Да, выражениe

$$u^\alpha=\frac{c dx^\alpha}{\sqrt{h}(dx^0-g_\alpha dx^\alpha)}$$

Для конкретного индекса, например, $1$, можно вроде бы формально понять, как:

$$u^r=\frac{c dx^1}{\sqrt{h}(dx^0-g_1 dx^1)}=\frac{c dr}{\sqrt{h}(dt-g_r dr)}$$

Тут бы лучше заменить букву в свертке. Не то чтобы выражение получается неправильное. Но ведь меняют же букву внутренней переменной интегрирования в интеграле, чтоб она не совпадала с чем не нужно.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1657007 писал(а):

Для конкретного индекса, например, $r$,

Нехорошо греческие буквы заменять латинскими. Греческие буквы у ЛЛ обозначают индексы трёхмерных векторов, а латинские - четырехвекторов.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1657009 писал(а):

Нехорошо греческие буквы заменять латинскими.

Я там поправил выше.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1657004 писал(а):

Еще интересный момент для себя открыл. Если нам известно, что у вектора трехмерной скорости в искривленном пространстве только одна ненулевая компонента $u^\varphi$, то это не значит, что модуль скорости будет ей равен, как этого ожидаешь в случае плоского пространства. Модуль будет равен $u=\sqrt{u^\varphi u_\varphi}$

Это также и в плоском пространстве но просто в криволинейных координатах (уже в самой обычной классике). Например в цилиндрической системе отчета в плоском 3d (при нулевых $dz$ и $dr$) правильное выражение для тангенциального элемента длины будет $rd\varphi$ а не $d\varphi$; для скорости также.

sergey zhukov в сообщении #1657007 писал(а):

Тут бы лучше заменить букву в свертке. Не то чтобы выражение получается неправильное. Но ведь меняют же букву внутренней переменной интегрирования в интеграле, чтоб она не совпадала с чем не нужно.

Если принять правило чтобы всегда сперва разворачивать сумм по немых индексов (и уже потом подставлять конкретных величин для свободных индексов в оставшихся) то неопределенности не будет... но да наверное, лучше все-таки использовать другую.

-- 01.10.2024, 21:17 --

sergey zhukov в сообщении #1657004 писал(а):

Все же получилось, что скорость неподвижного в системе подвижного равна (с минусом) скорости подвижного в системе неподвижного. Так мне и казалось с самого начала. Потому, что движущийся со скоростью $r\Omega$ касательно к ободу наблюдатель синхронизирует часы в локальной области так же точно, как и наблюдатель на ободе. Тогда задача сводится к двум инерциальным наблюдателям.

Во всяком случае "здравый разум" мне говорил, что в нулевом и в $c$ пределе обе должны совпадать; так что странно было бы если получалось что-то другое (про "сводится к инерциальным наблюдателям" как-то не поворачивается язык, это не локально-инерциальные системы - и всякие собственные ускорения и приливные силы в соответных систем отсчета в общем случае, никуда не деваются).

sergey zhukov в сообщении #1657004 писал(а):

Но, похоже, что в нестационарной метрике это не обязательно так.

А конкретный пример есть? (разумеется в локальной окрестности где проходят мимо друг друга) А то соображения про пределов такие же.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1657004 писал(а):

Но, похоже, что в нестационарной метрике это не обязательно так.

А чем мешает нестационарность?

[peg59]

Из интереса посчитал скорость вращающегося тела с произвольной угловой
скоростью $\omega$ во вращающейся системе. Если нигде не напутал:

$$ v^\varphi = \frac{\omega \sqrt{1 - \Omega^2R^2/c^2}}{1 - \Omega^2R^2(1+ \omega/\Omega)/c^2} $$

$$ v = \frac{\omega R}{1 - \Omega^2R^2(1+\omega/\Omega)/c^2} $$

Как видно, не все скорости равны в разных системах. Некоторые равнее...

[sergey zhukov]

peg59
$\omega$ - это что? Угловая скорость наблюдателя, который раньше был неподвижен, в ИСО? Т.е. вращаются и тот и другой, но с разными угловыми скоростями?

[peg59]

sergey zhukov в сообщении #1657221 писал(а):

$\omega$ - это что?

Это угловая скорость относительно (во) вращающейся системы отсчета.
При $ \omega = - \Omega \; $ имеем случай в задаче.

[manul91]

peg59
Ничего не понятно.
Вы посчитали линейную скорость объекта - относительно вращающейся системе отсчета, при условием что этот объект вращается с угловой скоростью $\omega$ относительно той же вращающейся системе отсчета?
Тогда в чем смысл замечания

peg59 в сообщении #1657217 писал(а):

не все скорости равны в разных системах. Некоторые равнее...

У нас есть две системы отсчета - ИСО, и вращающаяся СО (с постоянной угловой скоростью $\Omega$) относно ИСО.
И еще есть - по меньшей мере один - объект, который как-то движется (достаточно указать вид его движения в одной из этих систем отсчета - из этого сразу можно пересчитать вид его движения в другой из них, если нужно). Если есть и какой-то второй движущийся/неподвижный объект - укажите его также (и относно какой из систем отсчета указано его движение).
Теперь как именно движется (движутся) объект(ы), и что с чем (что за скорости - и в каких из двух систем отсчета) сравнивается?
Выражайтесь яснее.

[manul91]

На всякий случай, утверждение (ожидание) про "равенства взаимных скоростей" сводится к следующем:
Даны два объекта $S_1$ (покоится в СО1), и $S_2$ (покоится в СО2).
Объекты проходят друг мимо друга, и сравнивается "физическая" скорость $v$ объекта $S_1$ относно СО2, и "физическая" скорость $v'$ объекта $S_2$ относно СО1, в пространственно-времевой окрестности события их встречи. "Физическая" - это измеренная неподвижными наблюдателями в соответных СО, с ими же линейками и синхронизированными неподвижными часами в той же пространственно-времевой окрестности (как посчитано в ЛЛ 88.10 - 88.12, и разъяснено выше в прежних сообщений).
Вот из этих-то "взаимных скоростей" и ожидаем, что должны всегда оказаться равными.
Если какое-то из условий выше не выполняется, то "нарушение равенства скоростей" - это ни о чем. Никто и не ожидает что скорости не отвечающие условий выше, должны оказаться равными.

[peg59]

manul91 в сообщении #1657225 писал(а):

Вы посчитали линейную скорость объекта - относительно вращающейся системе отсчета, при условием что этот объект вращается с угловой скоростью $\omega$ относительно той же вращающейся системе отсчета?

Правильно. Этот же объект в неподвижной ИСО вращается с линейной скоростью $(\Omega - \omega)R$. Но его линейная скорость во вращающейся системе совсем другая.