Скорость во вращающейся системе отсчета.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1656585 писал(а):

manul91
Я так понял, что часть вопроса состояла в том, почему в случае вращения скорость $A$ относительно $B$ не равна скорости $B$ относительно $A$, как это обычно бывает в СТО, когда рассматриваются две ИСО. Ответ в том, что даже и по Ньютону в случае произвольных неинерциальных СО скорость $A$ относительно $B$ не равна скорости $B$ относительно $A$.

Нет. По Ньютону те скорости о которых речь - одной и той же локальной окрестности - всегда одинаковые, поскольку время абсолютное. ИСО или СО - без значения.

[sergey zhukov]

peg59 в сообщении #1656588 писал(а):

Даже когда они в непосредственной близости друг от друга

Нет, в этом случае скорости, вычисленные в разных СО, должны быть одинаковы.
Впрочем, тут нужно повнимательнее подумать. Почти уверен, что так, но не до конца. Дело в том, что одна скорость вычисляется в одной СО, а другая - в другой. Совпадение объектов в пространстве при этом не гарантирует, что эти скорости будут равны.

[pppppppo_98]

peg59 в сообщении #1656579 писал(а):

Колесо крутилось всегда. Я его уже вращающееся измерил.

отлично -отлично ... то есть вы всегда находились во вращающеся системем координат, , а ткт раз и вышли... и А5-25... А почему вы свои знания о том периоде жизни можете экстраполировать на новый... Да что бы сразу избежать разговорв что я стоял в центре - тогда я вам задам вопрос а как вы меряли тогда обод находясь в центре, и ответом шо я мерял исклюсительно углы и перемножал на радиус не будет верным - ибо на обод будут действовать напряжения, а на вас в центре нет

ЗЫ

Вы может уходить от своего кколеса, и сразу же возращаться к лоренцеву сокращению - во второй раз вам говорю...

[peg59]

pppppppo_98 в сообщении #1656594 писал(а):

то есть вы всегда находились во вращающеся системем координат,

Ну вот, прояснилось. Я всё это время говорил об измерениях в ИСО.
Поэтому всю нашу переписку выше можно удалить.

[pppppppo_98]

peg59 в сообщении #1656384 писал(а):

Действительно ли при переходе во вращающуюся систему отсчета сохраняется угловая скорость?

это точно сохранится - это скаляр... его можно вычислить по эффекту саньяка - вполне себе наблюдаемая величина

[manul91]

peg59 в сообщении #1656590 писал(а):

То есть, производная в точке для ОТО не существует?

Производная чего в точке? Если производная одной (пространственноподобной) координатой по другой (времениподобной) - типа $\frac{dp}{dt}$ (что бы под $p$ и $t$ не подразумевалось) - то она конечно, существует.

Только это не то, что мы называем "физической скоростью" - в ней "физического смысла" никакого, ибо она (кроме прочего) зависит от произвола выбора координат - т.е. от каких-то произвольных меток.

Простейший пример - расставим в ИСО (по какую-то прямую линию, для простоты) обычные неподвижные стандартные часы, нормально синхронизированные (т.е. вводим "хорошую" времевую координату $t$).
На прямую, отметим метками каждый метр расстояния (измеренный самым обычным образом) - введем ("хорошую") пространственную координату $x$.
Теперь испортим все, например следующим образом:
- сдвинем показания часов - к каждому из них добавим сдвиг пропорциональный его координатой $x$. Перешли к новую времевую координату $T$ (несинхронизированную).
- изменим числа разметки на линии - скажем возведем в третью степень числа-метки $x$ и таким образом перейдем к "плохую" координату $X$.
(разумеется, вид метрики в координат $X$ и $T$ уже будет другим).
Теперь, пусть какой-то объект пролетает по данной линии. Его траектория в пространстве-времени будет какая-та функция из координат $T(r)$, $X(r)$ - где $r$ просто какой-то афинный параметр (параметризирующий траекторию) без особого смысла; эту траекторию можно записать и как $X(T)$ (элиминируя $r$).
Производная $\frac{dX}{dT}$ разумеется существует (так называемая "координатная скорость" объекта) - но она может быть произвольной в зависимости как мы решили "испортить" координат - это не та "физическая" скорость которая обычно меряется наблюдателями. Например тело в ней может "ускоряться" когда местные наблюдатели обычными часами и линейками видят, что оно "реально" идет равномерно.

В ЛЛ решается обратная задача - даны "испорченные" координаты (и метрика в них) - определить "истинные" расстояния и промежутки времени для наблюдателей.
(в неплоском пространстве-времени, "неиспорченных" координат - глобально - вообще ввести невозможно, зато в дифференциально-малом всегда можно).
У ЛЛ обозначения $x^0 - x^3$ зарезервированны для произвольных координат (в произвольно-кривом, но можно и криволинейных в плоском - пространстве-времени); а $dl$ и $d\tau$ - для "истинных" промежутков длины и промежутков времени локальных наблюдателей - по их собственным "стандартным" часам и линейкам.

[Утундрий]

Пока вы тут дружно не наплодили ещё с десяток страниц околотерминального бреда, задайте себе простой вопрос. Скорость чего вы измеряет и относительно чего?

[sergey zhukov]

Утундрий
Скорость точки обода в системе того, кто стоит рядом, и скорость того, кто стоит рядом, в системе точки обода.

[Утундрий]

sergey zhukov
Для задания системы отсчёта одного тела недостаточно.

[sergey zhukov]

Утундрий
Понятно, что тут у нас два облака часов. Одно неподвижно, второе вращается. В интересующей нас области часы в них синхронизированы в каждой СО.

[peg59]

sergey zhukov в сообщении #1656606 писал(а):

часы в них синхронизированы в каждой СО.

Можно я сразу еще меня мучающий вопрос задам?
О какой синхронизации сейчас идет речь, когда ЛЛ неоднократно подчеркивают, что координатное время задается произвольно идущими часами?

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1656601 писал(а):

околотерминального бреда

А что такое "околотерминальный"?

[sergey zhukov]

peg59
Произвольно идущие часы - это просто значит, что временную координату событиям можно назначать произвольно. Вроде как в каждой точке пространства можно разместить некий счетчик временной координаты, который будет увеличивать свои показания даже и не регулярно. Такие неравномерные часы. Ведь координатное время - это просто временная координата. Она с показаниями каких-бы то ни было часов совпадать не обязана. Наоборот, это мы можем сделать такие кривые неравномерные часы "под временную координату", которые будут всегда с ней совпадать. Вот это и будут произвольно идущие часы.

Синхронизированные часы - это не те часы, которые идут с одинаковой скоростью, а те, которые были однократно синхронизированы и для которых таким образом была определена одновременность. После этого мы знаем, как определять одновременность пространственно разнесенных событий по этим часам. Скажем, чтобы измерить длину движущегося стержня, нам нужно одновременно зафиксировать в некоей СО положение его концов. Т.е. мы должны зафиксировать начало в некоторый момент по часам в районе начала стержня и конец в некоторый момент (одновременный с предыдущим) по часам в районе конца стержня. Если часы в СО не были синхронизированы, мы не знаем, что значит одновременные показания на разнесенных часах, т.е. не можем измерить длину.

Синхронизация не значит одинаковой скорости хода. Скажем, в пространстве Шварцшильда мы однократно синхронизируем все часы, после чего спокойно говорим, что часы ближе к центру идут медленее. Синхронизированные часы могут идти с разной скоростью.

[manul91]

peg59 в сообщении #1656607 писал(а):

Можно я сразу еще меня мучающий вопрос задам?
О какой синхронизации сейчас идет речь, когда ЛЛ неоднократно подчеркивают, что координатное время задается произвольно идущими часами?

Так координатное время и задается (и отмечается буковкой $x^0$), это в терминологии выше - и есть "произвольно испорченная", несинхронизированно-неравномерная времевая координата (ну с некими очень общими ограничениями, которые пока для понимания не существенны).

Мы говорим про синхронизированными часами постольку, поскольку ваше изначальное сообщение было про т.н. "физической скоростью" - которая у ЛЛ обозначена как $v$ - она меряется локально-неподвижными в координат СО дифференциально-близкими наблюдателями, собственными стандартными линейками и (взаимно-синхронизированными по стандартной процедуре! - сигналом туда-обратно и коеффициентом $\frac{1}{2}$) часами.

Для измерения "физической скорости" локально-близкие часы должны быть синхронизированы - а координата ИСО $t$ как ни странно - не такая для вращающихся часов - для них она является "испорченной"/наискосок.
Если двое близких стандартных вращающихся часов на периферии синхронизировать взаимно стандартным образом в СО (сигналом туда-обратно и коеффициентом $\frac{1}{2}$) - то например сигнал из центра придет к ним неодновременно по ихнему времени (хотя и одновременно по координатному-для-них времени ИСО $t$).
И наоборот, если синхронизировать близких вращающихся часов на периферии сигналом из центра (по "внешнем" координатном времени $t$ ИСО) - то они окажутся рассинхронизированными стандартным образом в СО (сигналом туда-обратно и коеффициентом $\frac{1}{2}$).

В частности на пальцах, к координату времени $t$ из ИСО недостаточно учесть только "релятивисткое замедление" чтобы перейти к "физическому" синхронизированному времени вращающихся часов по которой имеет смысл мерять "физическую скорость" $v$.
Это потому что "одновременность" вращающихся не совпадает с "одновременностью" часов неподвижных в ИСО; нужно учесть еще и эту асинхронность, чтобы перейти правильно к локальных длин $dl$, и в итоге к измерению "физической скорости". В этом и смысл 88.10 - 88.12 по сравнению со статической метрики, где диагональныe коеффициенты $g_{0\alpha}$ нулевые.

[peg59]

peg59 в сообщении #1656607 писал(а):

Синхронизированные часы - это не те часы, которые идут с одинаковой скоростью, а те, которые были однократно синхронизированы и для которых таким образом была определена одновременность.

Я такие простые вещи понимаю. Думаю, что понимаю, что (84,6) (88,10) посчитано через метрику с поправкой как раз на рассинхронизацию $x^0$. Значит, метрика позволяет считать, никак не заморачиваясь с синхронизацией. Поправка известна, и она уже учтена.

В формуле (88,10) справа три индекса $\alpha$ , это явно опечатка. Немые индексы в знаменателе надо заменить на $\beta$ , это же свёртка?

[manul91]

peg59 в сообщении #1656665 писал(а):

Думаю, что понимаю, что (84,6) (88,10) посчитано через метрику с поправкой как раз на рассинхронизацию $x^0$.

Рассинхронизация в координат $x^0,...x^3$ (для неподвижных в этих координат близких часов) понятное дело, выражена в метрике - притом понятным образом - через ненулевости диагональных коеффициентов $g_{0\alpha}$. (В принципе, в метрике всегда содержится вся необходимая информация, нужно только понять как из ней ее "вытянуть")

Поэтому да, можно сказать что в выражении для элемента "истинной длины" $dl$ то она уже учтена поскольку (84.6) она учитывается. (советую еще раз перечитать 84.1 - 84.7 чтобы понять как именно величины $dl$ и $d\tau$ определяются и понять их операционный/процедурный смысл с точки зрения неподвижных в координат СО близких часов-наблюдателей).
Поэтому $dl$ из 84.6 далее можно использовать "как есть" в выражении для "физической" скорости.

Однако величина $d\tau$ определенная в 84.1, относится для интервала "истинного времени" (по собственным часам) который проходит между двух близких событий произходящих в одной и той же точке $A \equiv (x^1, x^2, x^3)$ СО. В одной и той же точке $A$, по одними и теми же часами неподвижными в $A$.
Но когда нужно посчитать скорость пролетающего объекта, нужно поделить на разность времен событий его ухода-прихода в соседних близких точек $A$ и $B$. А не в одной и той же точке $A$.
Поэтому нельзя непосредственно (без дополнительных соображений) использовать $d\tau$ из 84.1 в знаменателе когда речь идет про вычислении скорости пролетающего мимо объекта, где нужно брать разницу времен событий прихода-ухода в соседних близких точек.

Так что далее, когда ЛЛ определяют "на что поделить" $dl$ в случае статической метрики, чтобы посчитать "физическую скорость" объекта для статической метрики:
Так как метрика статическая и $g_{0\alpha}=0$ то предполагается что момент по координатному времени $x^0$ в точке $A$ одновременен моменту $x^0$ в точке $B$ не только численно-координатно, но и в "собственном смысле" для наблюдателей(по операционному определению одновременности взаимной радарной синхронизации сигналом туда-обратно с коеффициентом $\frac{1}{2}$).
Поэтому если объект выходит из $A$ в момент $x^0$ и приходит в $B$ момент $x^0+dx^0$, то разницу моментов ухода/прихода в соседних точек соответствует разница просто $dx^0$ по координатному времени в одном месте, и ее можно прямо перевести в "истинному интервалу собственного времени" в одном месте $d\tau$ через 84.1. Т.е. интервал ухода-прихода в двух соседних точек равен интервалу в одной и той же точке, так как координата $x^0$ в соседних точек имеет одну и ту же одновременность с собственному времени $\tau$ часов в этих точек.

Когда однако метрика стационарна (не статическа) и $g_{0\alpha}$ ненулевое, то момент по координатному времени $x^0$ в точке $A$ уже НЕ одновременен моменту $x^0$ в точке $B$ (по операционному определению одновременности взаимной синхронизации сигналом туда-обратно и коеффициентом $\frac{1}{2}$).
Т.е. "численная одновременность" по координате $x^0$ не отвечает "реальной операционной" одновременностью для близких наблюдателей.
Моменту по координатному времени $x^0$ в точке $A$ теперь "реаьлно одновременен" не момент $x^0$ в точки $B$, а другой момент $x^0 - \frac{g_{0\alpha}}{g_{00}}dx^\alpha$ в точки $B$ (по операционному определению одновременности взаимной синхронизации сигналом туда-обратно и коеффициентом $\frac{1}{2}$).
Поэтому, если объект приходит в $B$ в момент $x^0+dx^0$, то с учетом "сбоя одновременности координатного времени в соседних точек" нужно взять не разницу $(x^0+dx^0) - x^0 = dx^0$, а $(x^0+dx^0) - (x^0 - \frac{g_{0\alpha}}{g_{00}}dx^\alpha) = dx^0 + \frac{g_{0\alpha}}{g_{00}}dx^\alpha$, и пересчитать именно этот интервал координатного времени к "собственному/истинному" времени наблюдателей в одной точке по их стандартным часам, через 84.1.

peg59 в сообщении #1656665 писал(а):

В формуле (88,10) справа три индекса $\alpha$ , это явно опечатка.

Это не опечатка. Суммирование произходит по повторяющихся верхних-нижних индеков в произведении, в 88.10 их только одна пара. Впрочем в вашем конкретном случае суммирования нету так как только один $g_{0\alpha}$ ненулевой, а именно $g_{t\varphi}$ т.е. остается только один член суммы.

peg59 в сообщении #1656665 писал(а):

Немые индексы в знаменателе надо заменить на $\beta$ , это же свёртка?

Немых индексов можно обозначать любой буквой, она без значения так как они всегда развертываются в сумму (но конечно если немых индексов более чем одного в произведении, их нужно обозначать разными буквами). В данном случае имеет значение только то что индекс греческий, а значит сумма пробегает значения индекса от 1 до 3 (т.е. сумма ведется по пространственным координатам, будет $g_{\alpha}dx^{\alpha} = g_1dx^1 + g_2dx^2 + g_3dx^3$, чему будут равны обозначения $g_1$, $g_2$, $g_3$ объяснено там же).

Пишите формулы здесь вместо того чтобы только ссылаться, это облегчает чтение и не надо сверяться/догадываться все время с ЛЛ что и как вы там прочитали.