И пожалуйста хоть какую формулу напишите, а то пока сплошная филология.
Итак,

,
![$t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/e/59e87c07670f2da8a7039deede1e2a5682.png)
.
Минимум потенциальной энергии при

. Если поместить тело в этот минимум, он там и будет оставаться. То есть, функция

является возможной траекторией тела. Действие на этой траектории, очевидно, равно нулю.
Рассмотрим вариацию в виде

. Эта вариация равна нулю на концах отрезка времени. Несложно подсчитать, что дла рассматриваемого лагранжиана вариация действия будет

Она отрицательна при

, и действие достигает минимумов при

, то есть на обычных траекториях с подъёмом на стенки. А вот при

, на исходной траектории, вариационная производная действия вообще не существует как обычная функция, и в окрестности этой точки

, то есть односторонние производные существуют и не нулевые, и это совсем не точка стационарности действия.
-- 11.09.2024, 22:24 --истинная мировая линия соответствует наименьшему действию только до первой фокальной точки
То есть принцип наименьшего действия становится неприменимым к гармоническому осциллятору на промежутке времени, большем полупериода его колебаний?
-- 11.09.2024, 22:30 --Что же делать с тем самым примером? А все что угодно: например заменить потенциал на

при

и затем перейти к пределу при

. Или поизвращаться как нибудь еще.
И не называть его "гармоническим осциллятором", потому что "гармонический осциллятор" подразумевает положительный квадратичный потенциал (и ничего другого).
И к вам, значит, тоже предыдущий вопрос. Я правильно понимаю, что на больших промежутках времени траектории гармонического осциллятора становятся неминимальными? А значит, если сглаживать вершину параболой, устремляя частоту колебаний на ней в бесконечность, неизбежно вылезут опять неприятности?