Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[realeugene]

amon в сообщении #1654263 писал(а):

realeugene в сообщении #1654261 писал(а):

Существует три разных траектории из начальной точки в конечную, но только две из них являются точками стационарности действия.

Для меня это загадочное утверждение. Не поясните, что за траектории?

Подняться по правому склону и спустится обратно, подняться по левому и спуститься обратно, всё время просидеть внизу.

[amon]

realeugene в сообщении #1654264 писал(а):

Подняться по правому склону и спустится обратно, подняться по левому и спуститься обратно, всё время просидеть внизу.

И то, и другое, и третье является решением уравнения движения, а значит - точкой стационарности.

[Red_Herring]

Повторяю: принцип минимального действия это дань исторической традиции. Требование минимальности действия убивает огромное число приложений. Например, волновое уравнение. Или даже $L= \dot{x}^2 - x^4$.

Что же делать с тем самым примером? А все что угодно: например заменить потенциал на $x^2/\varepsilon$ при $|x|<\varepsilon$ и затем перейти к пределу при $\varepsilon\to 0$. Или поизвращаться как нибудь еще.

И не называть его "гармоническим осциллятором", потому что "гармонический осциллятор" подразумевает положительный квадратичный потенциал (и ничего другого).

[realeugene]

amon в сообщении #1654268 писал(а):

И то, и другое, и третье является решением уравнения движения, а значит - точкой стационарности

Уход с третьей траектории на стенку уменьшает действие уже в первом порядке по отклонению.

-- 11.09.2024, 15:07 --

Red_Herring в сообщении #1654269 писал(а):

Или поизвращаться как нибудь еще.

Вот да. Осторожно извращаться, но не прямо любить этот негладкий потенциал.

[drzewo]

Фазовый поток системы с лагранжианом $L=\dot x^2/2-|x|$ определен всюду на плоскости $(x,\dot x)$ кроме начала координат. Траектории этого потока, как и полагается, являются критическими точками функционала <<Действие>> и строятся как линии уровня интеграла энергии. ЧТо бы получить непрерывный фазовый поток на всей плоскости, можно считать начало координат положением равновесия. Ну нет сложностей в этой системе, ну, что тут поделаешь...

[realeugene]

drzewo
То, что минимум потенциальой энергии является точкой равновесия, вопросов не вызывает и вызывать не может. Вопрос вызывает только нестационарность действия в окрестности этой точки из-за разрыва производной потенциала там.

[drzewo]

realeugene в сообщении #1654277 писал(а):

То, что минимум потенциальой энергии является точкой равновесия, вопросов не вызывает и вызывать не может.

то, что минимум является точкой равновесия т.е. траекторией системы -- это ни из чего не следует.
Это вопрос определений.

realeugene в сообщении #1654277 писал(а):

Вопрос вызывает только нестационарность действия в окрестности этой точки

В какой еще окрестности? Действие стационарно на всех траекториях, а для функции $x(t)\equiv 0$ вариация действия просто не определена.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1654279 писал(а):

то, что минимум является точкой равновесия т.е. траекторией системы -- это ни из чего не следует.

Это следует из физики задачи. Если энергия сохраняется и мы посадили тело в точку минимума энергии, оно оттуда никуда выбраться не может.

drzewo в сообщении #1654279 писал(а):

В какой еще окрестности? Действие стационарно на всех траекториях, а для функции $x(t)\equiv 0$ вариация действия просто не определена.

Это не функция, это траектория. Вариация действия разрывна, но действие на этой траектории и в её окрестностях прекрасно определено, и оно не стационарно на этой траектории.

[drzewo]

realeugene в сообщении #1654282 писал(а):

Это следует из физики задачи.

я и говорю, не из чего не следует

realeugene в сообщении #1654282 писал(а):

Это не функция, это траектория.

я тут позволяю себе вольность, говорить <<траектория>> вместо << функция>>, имея в виду, что все понимают разницу, и что функционал <<Действие>>, строго говоря, определен именно на функциях, а не на траекториях. Но вы этого не понимаете, увы.

realeugene в сообщении #1654282 писал(а):

Вариация действия разрывна, но действие на этой траектории и в её окрестностях прекрасно определено, и оно не стационарно на этой траектории.

а стационарность это именно и есть равенство нулю вариации, которая на этой функции ($x(t)\equiv 0$) не определена.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1654285 писал(а):

а стационарность это именно и есть равенство нулю вариации, которая на этой функции ($x(t)\equiv 0$) не определена.

Вот именно: траектория есть, а стационарности нет.

-- 11.09.2024, 18:24 --

drzewo в сообщении #1654285 писал(а):

я и говорю, не из чего не следует

Ваш снобизм иногда зашкаливает.

Никому не нужен был бы теормех, если бы он не решал физические задачи. Данная задача очень простая физическая. Но вы так и не показали, как вы любите такой негладкий потенциал.

[amon]

realeugene в сообщении #1654286 писал(а):

Вот именно: траектория есть, а стационарности нет.

Скруглите угол так, чтобы потенциал был дифференцируемым. Что изменится в Вашей аргументации?

[realeugene]

amon в сообщении #1654288 писал(а):

Скруглите угол так, чтобы потенциал был дифференцируемым. Что изменится в Вашей аргументации?

Потенциал станет гладким. Исчезнет уменьшение действия уже в первом порядке малости по величине вариации траектории. Третья траектория превратится в обычный минимум действия.

Человек утверждал, что изломы лагранжиана нужно любить, а не устранять. Я его прошу продемонстрировать это.

И в исходной задаче темы был излом лагранжиана.

[amon]

realeugene в сообщении #1654289 писал(а):

И в исходной задаче темы был излом лагранжиана.

И на чем это сказалось? И пожалуйста хоть какую формулу напишите, а то пока сплошная филология.

[realeugene]

amon в сообщении #1654291 писал(а):

И пожалуйста хоть какую формулу напишите, а то пока сплошная филология.

$15$ (анекдот про Петьку)

Хорошо, доберусь до компа - напишу уменьшение действия[/quote]

-- 11.09.2024, 19:16 --

amon в сообщении #1654291 писал(а):

И на чем это сказалось?

В результате ни на чем, но траектории, частично проходящие по излому, обсуждались.

-- 11.09.2024, 19:17 --

realeugene в сообщении #1654294 писал(а):

amon в сообщении #1654291 писал(а):

И пожалуйста хоть какую формулу напишите, а то пока сплошная филология.

$15$ (анекдот про Петьку)

Хорошо, доберусь до компа - напишу уменьшение действия

-- 11.09.2024, 19:16 --

amon в сообщении #1654291 писал(а):

И на чем это сказалось?

В результате ни на чем, но траектории, частично проходящие по излому, обсуждались.

[realeugene]

amon в сообщении #1654291 писал(а):

И пожалуйста хоть какую формулу напишите, а то пока сплошная филология.

Итак, $L = \dot x ^2 - |x|$, $t \in [0, 1]$.

Минимум потенциальной энергии при $x=0$. Если поместить тело в этот минимум, он там и будет оставаться. То есть, функция $x(t)=0$ является возможной траекторией тела. Действие на этой траектории, очевидно, равно нулю.

Рассмотрим вариацию в виде $\delta x(t) = \alpha t (1-t)$. Эта вариация равна нулю на концах отрезка времени. Несложно подсчитать, что дла рассматриваемого лагранжиана вариация действия будет $\delta S = \frac {|\alpha|} 3 \left( |\alpha| - \frac 1 2\right)$ Она отрицательна при $\alpha \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$, и действие достигает минимумов при $\alpha = \pm 1/4$, то есть на обычных траекториях с подъёмом на стенки. А вот при $\alpha = 0$, на исходной траектории, вариационная производная действия вообще не существует как обычная функция, и в окрестности этой точки $\delta S = \frac {-|\alpha|} 6 + o(\alpha)$, то есть односторонние производные существуют и не нулевые, и это совсем не точка стационарности действия.

-- 11.09.2024, 22:24 --

peregoudov в сообщении #1654163 писал(а):

истинная мировая линия соответствует наименьшему действию только до первой фокальной точки

То есть принцип наименьшего действия становится неприменимым к гармоническому осциллятору на промежутке времени, большем полупериода его колебаний?

-- 11.09.2024, 22:30 --

Red_Herring в сообщении #1654269 писал(а):

Что же делать с тем самым примером? А все что угодно: например заменить потенциал на $x^2/\varepsilon$ при $|x|<\varepsilon$ и затем перейти к пределу при $\varepsilon\to 0$. Или поизвращаться как нибудь еще.

И не называть его "гармоническим осциллятором", потому что "гармонический осциллятор" подразумевает положительный квадратичный потенциал (и ничего другого).

И к вам, значит, тоже предыдущий вопрос. Я правильно понимаю, что на больших промежутках времени траектории гармонического осциллятора становятся неминимальными? А значит, если сглаживать вершину параболой, устремляя частоту колебаний на ней в бесконечность, неизбежно вылезут опять неприятности?