Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[amon]

Theoristos в сообщении #1654519 писал(а):

Стоп. Это почему "принцип наименьшего действия" вдруг становится "принципом стационарности действия"?

Потому, что он на самом деле - принцип стационарного действия. Это, между прочим, и у Ландау написано, правда, вскользь.

[warlock66613]

Theoristos в сообщении #1654524 писал(а):

Ландау с Фейнманом - это "что попало"? (и там, и там принцип изначально формулируется именно как минимум действия)

Про Фейнмана враньё.

[Утундрий]

Общее правило: не судите принцип по его названию.

[Theoristos]

warlock66613 в сообщении #1654537 писал(а):

Про Фейнмана враньё.

В смысле - "враньё"?

-- Сб сен 14, 2024 08:11:42 --

Red_Herring в сообщении #1654531 писал(а):

А как начет теории сплошной среды (вкл. теорию упругости)?

Ну, там нужно отдельно рассматривать.
Там вроде как полегче, устойчив минимум энергии. Экстремумы если и наблюдаются, то неустойчивы. Не знаю, имеют ли они существенным практический смысл, обычно постулируется что это "фу" и "такнебывает".

Вот в динамике там возможно и есть какие-то тонкости.

А так - оно много где встречается, в той же теории плескания жидкостей.

-- Сб сен 14, 2024 08:14:35 --

Утундрий

Утундрий в сообщении #1654538 писал(а):

Общее правило: не судите принцип по его названию.

[Меланхолично] Назвали б каким "Принципом Каратеодори" - сразу видно что хрень какая-то.
А "Принцип Наименьшего Действия, который после точек каустики обращается в Принцип Наибольшего Действия, а в общем смысле может быть Ни Тем Ни Другим, либо Вовсе Отсутствовать"... - это прям как цитата из праттчетовской "Теоретики за границей".

[drzewo]

(Оффтоп)

Цитата:

наш учитель физики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и

сперва я подумал, что это из полицейского протокола, а не про принцип Гамильтона

[Theoristos]

... а если говорить серьёзно, то, получается, вопросы сходимости и существования должны быть если не сурово монографизированы, то отдельно исследоваться в каждом случае. Особенно для каких-то забористых систем типа минимализации/экстремализации континуальны полей на какой-то хитрой топологии.

[drzewo]

Theoristos в сообщении #1654526 писал(а):

А вот с изломом получается та самая ахиллова черепаха,

с изломом получается все тоже самое что и без излома, топологически эквивалентная система получается, о чем вам уже говорил amon

[realeugene]

drzewo в сообщении #1654529 писал(а):

потому, что фазовый портрет состоит из замкнутых кривых, которые через 0 не проходят

Ещё раз, обсуждаемый $x=0$ - это нуль в конфигурационном пространстве, а не в фазовом. И принцип наименьшего действия формулируется тоже в конфигурационном пространстве вообще-то. На скорости на концах не накладывается никаких ограничений.

[amon]

Theoristos в сообщении #1654557 писал(а):

В смысле - "враньё"?

В прямом.

Ричард Фейнман писал(а):

Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это минимум. Может быть, это максимум. На самом деле это и не обязательно должен быть минимум. Здесь все так же, как в «принципе кратчайшего времени», который мы обсуждали, изучая оптику. Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в которых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений первого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деле подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум».

[realeugene]

И есть ещё один нюанс. В механике можно бегать очень быстро туда-сюда-обратно вблизи траектории, чтобы получить любое значение кинетической энергии при сколь угодно малых отклонениях координаты. Как при этом можно получить не минимум я не очень понимаю.

[amon]

realeugene в сообщении #1654576 писал(а):

Как при этом можно получить не минимум я не очень понимаю.

Наличие локального минимума на траектории $x_0(t),$ грубо говоря, означает, что для любой траектории $x(t)$ такой, что $|x(t)-x_0(t)|<\varepsilon$ и $|\dot x(t)-\dot x_0(t)|<\varepsilon,$ $S[x]>S[x_0].$ Это, в частности, означает, что если близкие траектории с разным действием на них пересекаются или касаются друг друга на промежутке интегрирования, то они не соответствуют никакому локальному минимуму или максимуму, о чем говорил peregoudov.

[realeugene]

amon в сообщении #1654579 писал(а):

и $|\dot x(t)-\dot x_0(t)|<\varepsilon,$

В принципе наименьшего действия в механике требуется слабый экстремум, а не сильный?

[Утундрий]

realeugene
Вам уже со всех сторон сказали: в принципе "наименьшего действия" требуется экстремальность функционала действия. Слово "наименьшее" в названии воспринимайте ностальгически. Как теплород, флогистон, светоносный эфир и т.п.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1654581 писал(а):

Вам уже со всех сторон сказали: в принципе "наименьшего действия" требуется экстремальность функционала действия.

Мой вопрос не про это. Экстремум бывает слабым или сильным. Слабый экстремум более ограничивающий возможные траектории, чем сильный.

-- 14.09.2024, 14:35 --

И, кстати, в литературе по вариационному исчислению вижу использование слова "траектория" как синонима функции, в отличие то того, что утверждалось в этой теме. Рассматривают удовлетворяющие уравнению Эйлера-Лагранжа траектории и не удовлетворяющие ему.

-- 14.09.2024, 14:45 --

Утундрий в сообщении #1654581 писал(а):

в принципе "наименьшего действия" требуется экстремальность функционала действия.

Вот и определите сначала строго, что такое "экстремальность", прежде чем начинать плеваться. Похоже, что у каждого тут своё определение.

[amon]

realeugene в сообщении #1654580 писал(а):

В принципе наименьшего действия в механике требуется слабый экстремум, а не сильный?

Давайте с терминологией разберемся. Экстремум это максимум или минимум. Бывает локальный и глобальный. Точка стационарности - точка, где выполнено необходимое условие экстремума $\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0.$ Это не значит, что в такой точке (на такой траектории) есть экстремум, он там может быть, а может отсутствовать - как повезет. Точка $x=0$ является точкой стационарности функции $f=x^3,$ но не является точкой экстремума. Принцип наименьшего действия требует, чтобы траектория была точкой стационарности функционала действия, и ничего не говорит о том, должна ли она быть точкой экстремума.