Рассмотрите фиксированный отрезок времени
![$t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/e/59e87c07670f2da8a7039deede1e2a5682.png)
.
Еще лучше получится, если ввести еще одну координату.

Тогда при начальной точке

и конечной

за время

будет две траектории, удовлетворяющих уравнению Эйлера-Лагранжа и рассказом про любое время тут не отделаешься. Катастрофы в этом нет, поскольку принцип наименьшего действия не утверждает, что траектория обязательно обеспечивает минимум или максимум. Он говорит, что траектория - это точка стационарности

Если таких точек несколько, значит возможно несколько траекторий.
-- 11.09.2024, 14:22 --Ситуация почти таже, что у нас.
IMHO, чуда в этом нет. Для упругого удара можно (наверно) считать, что потенциал, скажем, внутри шара

а вне - ноль. Тогда вариационная задача сведется к задаче с разрывным потенциалом с той разницей, что положение границ зависит от времени, что приведет к некоторой модернизации внеинтегрального члена. Аккуратно не смотрел.