Однозначная идентификация конечной группы

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1652237 писал(а):

Перестановочное представление — это с циклами в духе $a=(1,\,2),\;b=(1,\,2,\,3,\,4)$? А линейное представление что такое?

Да, перестановочное — это когда группа задаётся как подгруппа $\mathrm S_n$ набором образующих (не обязательно циклов, просто перестановок). А линейное представление — когда группа задаётся набором образующих матриц в $\mathrm{GL}(n, F)$ для некоторого поля $F$. Иногда удобно брать конечные поля, иногда поля характеристики 0.

[B@R5uk]

То есть, оба способа — это указание группы как подгруппы в какой-то большей группе. С вычислительной точки зрения, не очень удобно и весьма накладно. Хотя, для особо больших подгрупп, такое представление может экономить память.

B@R5uk в сообщении #1652237 писал(а):

Вообще, забавно: группа

$$\mathbb{Z}_m\rtimes F,\quad m\in\{3,\,4,\,6\}$$

однозначно задаётся этой формулой, какая бы факторгруппа F чётного порядка в формуле не стояла, потому что в группу

$$\mathbb{Z}_2=\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_m\right),\quad m\in\{3,\,4,\,6\}$$

существует только один нетривиальный гомоморфизм.

Наврал. Если F достаточно большая, то в ней может найтись несколько неэквивалентных подгрупп $\mathbb{Z}_2$, которые, порождая разные гомоморфизмы, могут дать разные полупрямые произведения. Групп со структурой $\mathbb{Z}_3\rtimes\left(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2\right)$ и $\mathbb{Z}_3\rtimes\mathrm{D}_8$ по две штуки.

[B@R5uk]

Группы $Q_8$, $Q_{16}$ и $Q_{32}$ не являются простыми, но в то же время не представимы в виде полупрямого произведения, что довольно редкое явление. Но среди групп 32-го порядка есть по крайней мере ещё одна группа с таким свойством, но не из этой серии. GAP даёт ей такое задание:

$${}^8G_{32}=\langle\;a,\;b\;|\;a^4=b^2,\;b^4=(a^3b^3ab)^2=I,\;a^2ba^2=b\;\rangle$$

Я нащупал такие два задания с явными обменными соотношениями между образующими:

$${}^8G_{32}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;a^4=b^2=[a,\;b]=I,\;c^4=a^2,\;ca=abc,\;cb=a^2bc\;\rangle$$

$${}^8G_{32}=\langle\;a,\;b,\;c\;|\;a^8=b^2=[b,\;c]=I,\;c^2=a^4,\;ba=a^5b,\;ca=abc\;\rangle$$

Первое отражает тот факт, что

$${}^8G_{32}\,/\left(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2\right)=\mathbb{Z}_4$$

Второе —

$${}^8G_{32}\,/\left(\mathbb{Z}_8\overset{5}{\rtimes}\mathbb{Z}_2\right)=\mathbb{Z}_2$$

$$\mathbb{Z}_8\overset{5}{\rtimes}\mathbb{Z}_2=\langle\;a,\;b\;|\;a^8=b^2=I,\;ba=a^5b\;\rangle$$

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1654161 писал(а):

не представимы в виде полупрямого произведения, что довольно редкое явление

Это по вашей статистике редкое явление? Просто в реальности такие группы встречаются часто (что никак не противоречит статистике). Например, двукратные накрытия $\mathrm A_n$ при $n \geq 5$, начиная с двойной группы икосаэдра.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1654165 писал(а):

Это по вашей статистике редкое явление?

Ну, в группах с порядком до полусотни и чуть больше, кроме порядков 32, 48 я встречал такое только в дициклических группах. Пример выше минимальный не дициклический. Возможно, среди 32-х ещё такая группа есть, я их ещё не все просмотрел.

dgwuqtj в сообщении #1654165 писал(а):

двукратные накрытия $\mathrm A_n$

Что значит накрытие?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1654177 писал(а):

Что значит накрытие?

Центральное расширение. Речь идёт про группы, у которых есть центральные подгруппы, фактор-группы по которым простые знакопеременные. Например, есть совершенная группа порядка $120$ с центральной подгруппой из двух элементов, фактор-группа по которой изоморфна $\mathrm A_5$.

[B@R5uk]

dgwuqtj, а это как-то строго доказывается, что группы с подобной структурой не факторизуются в полупрямое произведение или это просто наблюдение?

[dgwuqtj]

Есть такое утверждение: пусть $G$ — конечная совершенная группа, у которой есть центральная подгруппа $Z \leq G$ простого порядка, фактор-группа по которой простая. Тогда $G$ не имеет подгрупп, изоморфных $G / Z$, ну и не раскладывается в полупрямое произведение. Тут именно совершенность важна.