2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 12:57 


22/12/09
73
Geen в сообщении #1653004 писал(а):
Andante в сообщении #1653003 писал(а):
А в школе учили что есть.

Приведите, пожалуйста, цитату из учебника.


[С.П.Потемкина. Математика. Введение в математический анализ.
Методическое пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. – 54 с.]
Стр.3 абзац 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Andante в сообщении #1653134 писал(а):
[С.П.Потемкина. Математика. Введение в математический анализ.
Методическое пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. – 54 с.]
Стр.3 абзац 1.

Спасибо. Но у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 18:29 
Аватара пользователя


01/11/14
1896
Principality of Galilee
Geen в сообщении #1653182 писал(а):
Вы не могли бы привести цитату?
Geen
Я же Вам уже ответил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656

(Оффтоп)

Gagarin1968 в сообщении #1653187 писал(а):
Я же Вам уже ответил
.

А откуда Вы знаете чему ТС учили в школе?
Это с одной стороны. С другой - нужно же ведь учитывать контекст... (гм, "пространство Минковского")
Ну и наконец, ТС уже нашёл книгу (правда, не учебник) - если напишет цитату - замечательно, если опишет своими словами - тоже неплохо. А вот если он будет считать, что эту "ось" можно втыкать куда ни попадя...

Впрочем. раз настаиваете, то я удаляюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Geen в сообщении #1653182 писал(а):
у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?
Пользуйтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 19:03 
Аватара пользователя


01/11/14
1896
Principality of Galilee

(Geen)

Geen в сообщении #1653191 писал(а):
Впрочем. раз настаиваете, то я удаляюсь
Я?? Настаиваю??
Да упаси бог, и в мыслях не было. Оставайтесь и вразумляйте школяра!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 19:28 


22/12/09
73
amon в сообщении #1653193 писал(а):
Geen в сообщении #1653182 писал(а):
у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?
Пользуйтесь.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 19:31 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Прежде чем разводить дискуссию, надо было попросить Andante дать определение "мерности".
В таких случаях всегда надо исходить из определения, а не полагаться на интуицию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 20:07 


03/06/12
2862

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1653082 писал(а):
Sinoid
Базис в одномерном линейном пространстве $\mathbb{C}$ над полем $\mathbb{C}$ должен состоять из одного элемента. В качестве этого единственного элемента базиса подойдёт любое ненулевое комплексное число, например единица. А почему подойдёт - Вы объясните.

skobar в сообщении #1653108 писал(а):
Sinoid в сообщении #1653079 писал(а):
Я не спорить - я просто спросить. А какой пример базиса можно привести в качестве примера для этого рассмотрения? Я так-то, интуитивно, понимаю, что это так, но с примером базиса что-то затрудняюсь.

Как уже написал Mikhail_K в качестве базиса можно взять любое ненулевое комплексное число.
Кажется, понял. Берем произвольное комплексное число $z_{0}\ne0$. Зафиксируем его и попробуем включить в базис. Тогда для произвольного комплексного числа $z$ выполняется равенство: $z=\dfrac{z}{z_{0}}\cdot z_{0}$. Число $\dfrac{z}{z_{0}}$ существует ввиду отличности по условию от 0 делителя $z_0$ и это число - комплексное ввиду замкнутости поля комплексных чисел. Т. е. никакого еще комплексного числа в базис включать не нужно.

Andante, я не буду вступать в дискуссию - просто скажу, что
dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):
$\mathbb C$ как векторное пространство над самим собой

действительно
dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):
одномерно

В этом лично я убедился только что. Прислушайтесь.

-- 04.09.2024, 21:10 --

zykov в сообщении #1653199 писал(а):
Прежде чем разводить дискуссию, надо было попросить Andante дать определение "мерности"

Sinoid в сообщении #1653203 писал(а):
прислушайтесь.

Похоже, я немного припозднился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
mihaild

(мерность)

Я специально использовал не_стандартный математический термин под фантазии ТС. Да, в математике зарезервирована "размерность", их даже несколько разновидностей. Вот только назвать этим вполне приличным словом ту величину, которая согласно ТС, равна $1$ для $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$
но равна $2$ для $\mathbb C$ мне показалось дидактически спорным. А правда, является ли это размерностью хоть в каком-то смысле?


-- Ср сен 04, 2024 20:55:39 --

В принципе ТС уже начал догадываться, что у самих чисел (как множеств) вообще никакой размерности нет, для неё нужна дополнительная структура. Осталось разложить понимание "числовой оси" на что-то более базовое, думаю это будет а) упорядоченность б) мера близости чисел

-- Ср сен 04, 2024 21:04:31 --

Комплексные числа тоже можно упорядочить... Но тогда сломается мера близости (расстояние) между числами. Если же оставим привычное расстояние, то порядок ввести не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 22:00 


04/06/24
85
Legioner93 в сообщении #1653211 писал(а):
mihaild

(мерность)

Я специально использовал не_стандартный математический термин под фантазии ТС. Да, в математике зарезервирована "размерность", их даже несколько разновидностей. Вот только назвать этим вполне приличным словом ту величину, которая согласно ТС, равна $1$ для $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$
но равна $2$ для $\mathbb C$ мне показалось дидактически спорным. А правда, является ли это размерностью хоть в каком-то смысле?


-- Ср сен 04, 2024 20:55:39 --

В принципе ТС уже начал догадываться, что у самих чисел (как множеств) вообще никакой размерности нет, для неё нужна дополнительная структура. Осталось разложить понимание "числовой оси" на что-то более базовое, думаю это будет а) упорядоченность б) мера близости чисел

-- Ср сен 04, 2024 21:04:31 --

Комплексные числа тоже можно упорядочить... Но тогда сломается мера близости (расстояние) между числами. Если же оставим привычное расстояние, то порядок ввести не получится.


:D На мой взгляд, вы полезли в ненужные дебри и только запутываете ТС-а. Все, что нужно знать - это что размерность векторного пространства над каким-то полем скаляров - это число векторов в базисе этого векторного пространства (максимальное число линейно независимых векторов). Все. Всякие там упорядоченности - это все лишнее здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
skobar Насчёт меня -- вполне может быть.

Но если вы считаете, что ваш пост хорош как растолковывающий "школьнику", то отнюдь, он не

skobar в сообщении #1653052 писал(а):
Andante
1. Первое, что вы должны понять - это то, что понятие размерности присуще векторному пространству. Выражение "размерность комплексного числа" вообще смысла не имеет т.к. комплексное число не является векторным пространством. Зато множество комплексных чисел является, и можно говорить о размерности множества (пространства) комплексных чисел.

2. Погуглите определение векторного пространства, и вы узнаете, что векторное пространство определяется над каким-то полем скаляров. Для понимания вам достаточно знать, что есть два поля, которые чаще всего используются - это $\mathbb{R}$ (поле вещественных чисел) и $\mathbb{C}$ (поле комплексных чисел).

3. Фишка в том, что множество комплексных чисел можно превратить в векторное пространство двумя способами - можно его рассматривать, как векторное пространство над полем $\mathbb{R}$, а можно также рассматривать как векторное пространство над полем $\mathbb{C}$.

Теперь, собственно, ответ на ваш вопрос - если пространство комплексных чисел рассматривать над полем $\mathbb{R}$, то размерность такого пространства будет 2, и все ваши интуитивные представления про размерность будут правильно работать. Но если мы рассмотрим комплексные числа как пространство над $\mathbb{C}$, то размерность такого пространства будет один. На интуитивном уровне вы можете думать, что теперь у вас вместо пары вещественных осей одна целая плоскость выступает как единый новый (комплексный) скаляр.


На самом деле фреймворк понимания вашего ответа это линейная алгебра (вектор как элемент векторного пространства) и общая алгебра (числа как поле). Т.е. полное среднее образование + первые 1-2 семестра института.

Получается ситуация.
Что второкурснику и старше ваш текст тривиален. Потому что рассматривает простой частный вопрос с точки зрения общей теории (да и не пришёл бы хороший студент с таким вопросом).
А свежему первокурснику (учебный год только начался) и младше -- непонятен. Потому что... рассматривает частный вопрос с точки зрения неизвестной общей теории. :-)

-- Ср сен 04, 2024 22:56:04 --

Andante
Вы там тоже не пропадайте из темы... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение04.09.2024, 23:34 


04/06/24
85
Legioner93
Разумеется мой пост никоим образом не является полным строгим изложением теории, он просто направляет ответ на вопрос в правильный фреймворк и, на мой взгляд, полезен для общего первичного понимания вопроса, даже если человек вообще не знаком с общей теорией. А вот впутывать сюда упорядоченность - это означает безнадежно запутать ТС, и, наоборот, отдалить его от понимания вопроса :?

Все imho, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение05.09.2024, 07:17 


22/12/09
73
Legioner93 в сообщении #1653253 писал(а):
Т.е. полное среднее образование + первые 1-2 семестра института.

Я окончил физфак университета очно, но там не давали эти темы, число как поле.

Legioner93 в сообщении #1653253 писал(а):
не пропадайте из темы... :wink:

Нет, пока ещё не пропал, я обдумываю полученные сведения и делаю выводы.
И по ним возникают следующие вопросы. Сформулирую чуть позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное комплексное число
Сообщение05.09.2024, 09:49 


04/06/24
85
Andante в сообщении #1653269 писал(а):
Я окончил физфак университета очно, но там не давали эти темы, число как поле.

Для первичного знакомства и общего понимания вам даже не нужно разбираться в общем абстрактном определении поля (кстати, на всякий случай, поле в математике - это совсем не то поле, которое в физике). Про поле можете думать как про числа, скаляры, на которых определены арифметические операции и на которые можно множить вектора. Как уже писалось раньше, важно только понимать, что и $\mathbb{R}$, и $\mathbb{C}$ - это два наиболее часто используемых поля, над которыми можно рассматривать векторные пространства, в частности, пространство комплексных чисел $\mathbb{C}$ ( $\mathbb{C}$ в данном случае может играть двойную роль - это и само векторное пространство, размерность которого мы пытаемся понять, и, одновременно, поле над которым оно рассматривается) . Да, про $\mathbb{C}$ можно тоже думать как про скаляры, как и про $\mathbb{R}$. Ключ к разрешению вашего вопроса заключается в том, что размерность пространства комплексных чисел будет зависеть от того, над каким полем вы его рассматриваете. Рассматривая $\mathbb{C}$ как векторное пространство над $\mathbb{C}$, вы получаете одномерное пространство. Но рассматривая то же $\mathbb{C}$ над полем действительных чимел $\mathbb{R}$ получаем теперь двухмерное пространство, отвечающее вашим привычным представлениям.

Если хочется понять про общее понятие поля в математике поподробнее, то ничего трудного на самом деле здесь нет. Это просто множество с двумя операциями на нем и длинным нудным набором свойств. Гугл вам выдаст строгое определение поля. В этой ветке фигурировало ещё одно поле - это $\mathbb{Q}$, множество рациональных чисел. Но imho здесь это все лишнее по отношению к заданному вопросу.

Andante в сообщении #1653269 писал(а):
Нет, пока ещё не пропал, я обдумываю полученные сведения и делаю выводы.
И по ним возникают следующие вопросы. Сформулирую чуть позже.

Вопросы - это хорошо, это правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group