Одномерное комплексное число

[Andante]

Geen в сообщении #1653004 писал(а):

Andante в сообщении #1653003 писал(а):

А в школе учили что есть.

Приведите, пожалуйста, цитату из учебника.

[С.П.Потемкина. Математика. Введение в математический анализ.
Методическое пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. – 54 с.]
Стр.3 абзац 1.

[Geen]

Andante в сообщении #1653134 писал(а):

[С.П.Потемкина. Математика. Введение в математический анализ.
Методическое пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. – 54 с.]
Стр.3 абзац 1.

Спасибо. Но у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?

[Gagarin1968]

Geen в сообщении #1653182 писал(а):

Вы не могли бы привести цитату?

Geen
Я же Вам уже ответил.

[Geen]

(Оффтоп)

Gagarin1968 в сообщении #1653187 писал(а):

Я же Вам уже ответил
.

А откуда Вы знаете чему ТС учили в школе?
Это с одной стороны. С другой - нужно же ведь учитывать контекст... (гм, "пространство Минковского")
Ну и наконец, ТС уже нашёл книгу (правда, не учебник) - если напишет цитату - замечательно, если опишет своими словами - тоже неплохо. А вот если он будет считать, что эту "ось" можно втыкать куда ни попадя...

Впрочем. раз настаиваете, то я удаляюсь.

[amon]

Geen в сообщении #1653182 писал(а):

у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?

Пользуйтесь.

[Gagarin1968]

(Geen)

Geen в сообщении #1653191 писал(а):

Впрочем. раз настаиваете, то я удаляюсь

Я?? Настаиваю??
Да упаси бог, и в мыслях не было. Оставайтесь и вразумляйте школяра!

[Andante]

amon в сообщении #1653193 писал(а):

Geen в сообщении #1653182 писал(а):

у меня этой книги нет в доступе. Вы не могли бы привести цитату?

Пользуйтесь.

Спасибо.

[zykov]

Прежде чем разводить дискуссию, надо было попросить Andante дать определение "мерности".
В таких случаях всегда надо исходить из определения, а не полагаться на интуицию.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1653082 писал(а):

Sinoid
Базис в одномерном линейном пространстве $\mathbb{C}$ над полем $\mathbb{C}$ должен состоять из одного элемента. В качестве этого единственного элемента базиса подойдёт любое ненулевое комплексное число, например единица. А почему подойдёт - Вы объясните.

skobar в сообщении #1653108 писал(а):

Sinoid в сообщении #1653079 писал(а):

Я не спорить - я просто спросить. А какой пример базиса можно привести в качестве примера для этого рассмотрения? Я так-то, интуитивно, понимаю, что это так, но с примером базиса что-то затрудняюсь.

Как уже написал Mikhail_K в качестве базиса можно взять любое ненулевое комплексное число.
Кажется, понял. Берем произвольное комплексное число $z_{0}\ne0$. Зафиксируем его и попробуем включить в базис. Тогда для произвольного комплексного числа $z$ выполняется равенство: $z=\dfrac{z}{z_{0}}\cdot z_{0}$. Число $\dfrac{z}{z_{0}}$ существует ввиду отличности по условию от 0 делителя $z_0$ и это число - комплексное ввиду замкнутости поля комплексных чисел. Т. е. никакого еще комплексного числа в базис включать не нужно.

Andante, я не буду вступать в дискуссию - просто скажу, что

dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):

$\mathbb C$ как векторное пространство над самим собой

действительно

dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):

одномерно

В этом лично я убедился только что. Прислушайтесь.

-- 04.09.2024, 21:10 --

zykov в сообщении #1653199 писал(а):

Прежде чем разводить дискуссию, надо было попросить Andante дать определение "мерности"

Sinoid в сообщении #1653203 писал(а):

прислушайтесь.

Похоже, я немного припозднился.

[Legioner93]

mihaild

(мерность)

Я специально использовал не_стандартный математический термин под фантазии ТС. Да, в математике зарезервирована "размерность", их даже несколько разновидностей. Вот только назвать этим вполне приличным словом ту величину, которая согласно ТС, равна $1$ для $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$
но равна $2$ для $\mathbb C$ мне показалось дидактически спорным. А правда, является ли это размерностью хоть в каком-то смысле?

-- Ср сен 04, 2024 20:55:39 --

В принципе ТС уже начал догадываться, что у самих чисел (как множеств) вообще никакой размерности нет, для неё нужна дополнительная структура. Осталось разложить понимание "числовой оси" на что-то более базовое, думаю это будет а) упорядоченность б) мера близости чисел

-- Ср сен 04, 2024 21:04:31 --

Комплексные числа тоже можно упорядочить... Но тогда сломается мера близости (расстояние) между числами. Если же оставим привычное расстояние, то порядок ввести не получится.

[skobar]

Legioner93 в сообщении #1653211 писал(а):

mihaild

(мерность)

Я специально использовал не_стандартный математический термин под фантазии ТС. Да, в математике зарезервирована "размерность", их даже несколько разновидностей. Вот только назвать этим вполне приличным словом ту величину, которая согласно ТС, равна $1$ для $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$
но равна $2$ для $\mathbb C$ мне показалось дидактически спорным. А правда, является ли это размерностью хоть в каком-то смысле?

-- Ср сен 04, 2024 20:55:39 --

В принципе ТС уже начал догадываться, что у самих чисел (как множеств) вообще никакой размерности нет, для неё нужна дополнительная структура. Осталось разложить понимание "числовой оси" на что-то более базовое, думаю это будет а) упорядоченность б) мера близости чисел

-- Ср сен 04, 2024 21:04:31 --

Комплексные числа тоже можно упорядочить... Но тогда сломается мера близости (расстояние) между числами. Если же оставим привычное расстояние, то порядок ввести не получится.

На мой взгляд, вы полезли в ненужные дебри и только запутываете ТС-а. Все, что нужно знать - это что размерность векторного пространства над каким-то полем скаляров - это число векторов в базисе этого векторного пространства (максимальное число линейно независимых векторов). Все. Всякие там упорядоченности - это все лишнее здесь.

[Legioner93]

skobar Насчёт меня -- вполне может быть.

Но если вы считаете, что ваш пост хорош как растолковывающий "школьнику", то отнюдь, он не

skobar в сообщении #1653052 писал(а):

Andante
1. Первое, что вы должны понять - это то, что понятие размерности присуще векторному пространству. Выражение "размерность комплексного числа" вообще смысла не имеет т.к. комплексное число не является векторным пространством. Зато множество комплексных чисел является, и можно говорить о размерности множества (пространства) комплексных чисел.

2. Погуглите определение векторного пространства, и вы узнаете, что векторное пространство определяется над каким-то полем скаляров. Для понимания вам достаточно знать, что есть два поля, которые чаще всего используются - это $\mathbb{R}$ (поле вещественных чисел) и $\mathbb{C}$ (поле комплексных чисел).

3. Фишка в том, что множество комплексных чисел можно превратить в векторное пространство двумя способами - можно его рассматривать, как векторное пространство над полем $\mathbb{R}$, а можно также рассматривать как векторное пространство над полем $\mathbb{C}$.

Теперь, собственно, ответ на ваш вопрос - если пространство комплексных чисел рассматривать над полем $\mathbb{R}$, то размерность такого пространства будет 2, и все ваши интуитивные представления про размерность будут правильно работать. Но если мы рассмотрим комплексные числа как пространство над $\mathbb{C}$, то размерность такого пространства будет один. На интуитивном уровне вы можете думать, что теперь у вас вместо пары вещественных осей одна целая плоскость выступает как единый новый (комплексный) скаляр.

На самом деле фреймворк понимания вашего ответа это линейная алгебра (вектор как элемент векторного пространства) и общая алгебра (числа как поле). Т.е. полное среднее образование + первые 1-2 семестра института.

Получается ситуация.
Что второкурснику и старше ваш текст тривиален. Потому что рассматривает простой частный вопрос с точки зрения общей теории (да и не пришёл бы хороший студент с таким вопросом).
А свежему первокурснику (учебный год только начался) и младше -- непонятен. Потому что... рассматривает частный вопрос с точки зрения неизвестной общей теории.

-- Ср сен 04, 2024 22:56:04 --

Andante
Вы там тоже не пропадайте из темы...

[skobar]

Legioner93
Разумеется мой пост никоим образом не является полным строгим изложением теории, он просто направляет ответ на вопрос в правильный фреймворк и, на мой взгляд, полезен для общего первичного понимания вопроса, даже если человек вообще не знаком с общей теорией. А вот впутывать сюда упорядоченность - это означает безнадежно запутать ТС, и, наоборот, отдалить его от понимания вопроса

Все imho, разумеется.

[Andante]

Legioner93 в сообщении #1653253 писал(а):

Т.е. полное среднее образование + первые 1-2 семестра института.

Я окончил физфак университета очно, но там не давали эти темы, число как поле.

Legioner93 в сообщении #1653253 писал(а):

не пропадайте из темы...

Нет, пока ещё не пропал, я обдумываю полученные сведения и делаю выводы.
И по ним возникают следующие вопросы. Сформулирую чуть позже.

[skobar]

Andante в сообщении #1653269 писал(а):

Я окончил физфак университета очно, но там не давали эти темы, число как поле.

Для первичного знакомства и общего понимания вам даже не нужно разбираться в общем абстрактном определении поля (кстати, на всякий случай, поле в математике - это совсем не то поле, которое в физике). Про поле можете думать как про числа, скаляры, на которых определены арифметические операции и на которые можно множить вектора. Как уже писалось раньше, важно только понимать, что и $\mathbb{R}$, и $\mathbb{C}$ - это два наиболее часто используемых поля, над которыми можно рассматривать векторные пространства, в частности, пространство комплексных чисел $\mathbb{C}$ ( $\mathbb{C}$ в данном случае может играть двойную роль - это и само векторное пространство, размерность которого мы пытаемся понять, и, одновременно, поле над которым оно рассматривается) . Да, про $\mathbb{C}$ можно тоже думать как про скаляры, как и про $\mathbb{R}$. Ключ к разрешению вашего вопроса заключается в том, что размерность пространства комплексных чисел будет зависеть от того, над каким полем вы его рассматриваете. Рассматривая $\mathbb{C}$ как векторное пространство над $\mathbb{C}$, вы получаете одномерное пространство. Но рассматривая то же $\mathbb{C}$ над полем действительных чимел $\mathbb{R}$ получаем теперь двухмерное пространство, отвечающее вашим привычным представлениям.

Если хочется понять про общее понятие поля в математике поподробнее, то ничего трудного на самом деле здесь нет. Это просто множество с двумя операциями на нем и длинным нудным набором свойств. Гугл вам выдаст строгое определение поля. В этой ветке фигурировало ещё одно поле - это $\mathbb{Q}$, множество рациональных чисел. Но imho здесь это все лишнее по отношению к заданному вопросу.

Andante в сообщении #1653269 писал(а):

Нет, пока ещё не пропал, я обдумываю полученные сведения и делаю выводы.
И по ним возникают следующие вопросы. Сформулирую чуть позже.

Вопросы - это хорошо, это правильно.