Одномерное комплексное число

[drzewo]

Лирическое отступление о вреде постмодернизма.

(Оффтоп)

Когда-то давно в Европе придумали, что бы тот, кто в какой-то области знает много больше других надевал четырехугольную шапку и рассказывал про эту область с этакого возвышения, а те, которые знают меньше сидели пониже и слушали. За много веков до этого у греков и евреев роль возвышения играл пригорок. (Нагорная проповедь -- именно поэтому <<нагорная>>)
Эта символика выражала понимание очень простой вещи: для того что бы научиться нужны авторитеты. Я признаю, что этот плешивый в четырехугольной шапке знает во сто крат больше меня и я буду стараться понять, что он говорит. Если мне что-то непонятно, то это потому , что я дурак, а не он. -- это априорная установка для обучения.
Постмодернизм принес в культуру идею о равноценности всех мнений. Почему эти идеи возникли именно в обществе потребления -- вопрос отдельный, однако, по счастью, все это не прижилось, инстинкт самосохранения и здравый смысл у человечества есть. Но некоторые, особо подверженные дурным влияниям личности, эту идею впитали -- всосали из телевизора.
В результате, всякая censored, нахватавшись где-нибудь и чего-нибудь, она не слушает плешивого в шапке, она дискутирует с ним <<на равных>>. Она, эта censored, не слушает и не учится, она высказывает свою точку зрения на предмет, потому, что как она усвоила, ее точка зрения равноценна тому, что говорит плешивый в шапке. В результате плешивый тратит время, а censored ничему не учится.

drzewo
Отрицание всех и всяческих авторитетов - безусловно, безобразие, но это не отменяет необходимости выбирать выражения. Предупреждение за бранную лексику и завуалированное оскорбление участника форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[Vadim32]

Andante в сообщении #1652989 писал(а):

Увы.

Рациональные, целые, вообще действительные одномерные, потому что их можно измерить проекцией на одну числовую ось. Соответственно, для комплексного числа осей надо две. Я ошибаюсь?

Думаю, немножко не правы по отношению к рациональным и целым числам. Размерности бесконечных пространств можно считать одинаковыми, если существует взаимно однозначное непрерывное (можно кусочно-непрерывное) соответствие между этими множествами. Поэтому, размерность относится не просто к множествам, а к пространствам. Пространства это множества у которых определено понятие близости, которое необходимо для понятия непрерывности. Меру близости можно задать, задав расстояние между элементам множества, либо топологию открытых подмножеств, других способов я не знаю. Нельзя взаимно однозначно отобразить целые числа на действительные, непрерывным образом. Целые на действительные отобразить можно, а вот обратно не получится. Поэтому размерность, счётных множеств равна нулю, эти множества вообще не бесконечные пространства. Также, например, можно отобразить одномерную прямую на плоскость путем перемежения десятичных цифр координат, но это не будет непрерывное отображение. Между счётными $\mathbb{Z}$ и действительными $\mathbb{R}$ не существует промежуточного пространства, которое было бы меньше $\mathbb{R}$ но больше $\mathbb{Z}$, поэтому правильнее было бы взять за условную неделимую единицу размерность $\mathbb{R}$, как минимально существующая размерность бесконечных пространств. Если ваш друг обозначил за единицу размерность $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$=$\mathbb{C}$, то тогда размерность $\mathbb{R}$ в его терминологии должна быть 0.5

[Ende]

Vadim32
Недельный бан за лженауку у Вас уже был. Теперь будет двухнедельный за чушь в ПРР. Если продолжите в том же духе, получите месячный, а потом бессрочный.

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1653008 писал(а):

Постмодернизм принес в культуру идею о равноценности всех мнений.

Не равноценности, а равновозможности.

[skobar]

Andante
С позволения других уважаемых участников форума попробую объяснить, что вам уже говорили, но с большим количеством подробностей. Надеюсь, что будет понятнее.

1. Первое, что вы должны понять - это то, что понятие размерности присуще векторному пространству. Выражение "размерность комплексного числа" вообще смысла не имеет т.к. комплексное число не является векторным пространством. Зато множество комплексных чисел является, и можно говорить о размерности множества (пространства) комплексных чисел.

2. Погуглите определение векторного пространства, и вы узнаете, что векторное пространство определяется над каким-то полем скаляров. Для понимания вам достаточно знать, что есть два поля, которые чаще всего используются - это $\mathbb{R}$ (поле вещественных чисел) и $\mathbb{C}$ (поле комплексных чисел).

3. Фишка в том, что множество комплексных чисел можно превратить в векторное пространство двумя способами - можно его рассматривать, как векторное пространство над полем $\mathbb{R}$, а можно также рассматривать как векторное пространство над полем $\mathbb{C}$.

Теперь, собственно, ответ на ваш вопрос - если пространство комплексных чисел рассматривать над полем $\mathbb{R}$, то размерность такого пространства будет 2, и все ваши интуитивные представления про размерность будут правильно работать. Но если мы рассмотрим комплексные числа как пространство над $\mathbb{C}$, то размерность такого пространства будет один. На интуитивном уровне вы можете думать, что теперь у вас вместо пары вещественных осей одна целая плоскость выступает как единый новый (комплексный) скаляр.

[Legioner93]

Andante в сообщении #1652858 писал(а):

По моим понятиям, чтобы определить комплексное число нужно два вещественных, одного мало, поэтому комплексное всегда двумерное

Andante в сообщении #1652989 писал(а):

Рациональные, целые, вообще действительные одномерные, потому что их можно измерить проекцией на одну числовую ось. Соответственно, для комплексного числа осей надо две.

Понятно. Ваше представление о мерности физически-прикладное.

Т.е. в качестве аксиомы у вас одномерность измеряемых величин, таких как расстояние или там разность потенциалов. Плюс все физики интуитивно понимают N-мерную декартову сетку, которая строится на числах той же природы. От математиков вы берёте только обозвание домена этих чисел как "действительных". И остальные домены сводите к действительным. Поэтому у вас целые той же мерности, зато комплексные -- удвоенной.

Не знаю, что ещё можно добавить в такой картине мире. Я бы не стал её портить математикой

Но если вам всё же интересна математическая сторона вопроса.
Во-первых, в математике действительные числа не занимают центральное место. Разве что в отдельных разделах с них традиционно стартуют (мат.анализ, геометрия..).
Во-вторых, попробуйте разобраться в следующем тезисе. Он верен и позволит вам взглянуть на -мерность с другой стороны.

Geen в сообщении #1652997 писал(а):

Вещественные числа над полем $\mathbb{Q}$ бесконечномерны.

[Deathrose]

Andante
Чтобы разобраться с вопросом о размерностях раз и навсегда, вам нужно понять, что по определению означает "размерность" (в разных разделах математики и контекстах определения и возможные значения "размерности" разные). В данном контексте - размерность линейного пространства над полем скаляров. Нужно освоить понятие базиса линейного пространства и базиса Гамеля, если размерность бесконечная (т.е. никакой конечный набор векторов не может быть базисом).
И ответить, например, на такие вопросы:
1. Может ли множество $\mathbb{Z}$ целых чисел со стандартной операцией сложения быть линейным пространством над каким-нибудь полем? Если да, то какой может быть его размерность?
2. Может ли множество $\mathbb{Q}$ со стандартной операцией сложения быть бесконечномерным пространством над каким-нибудь полем? Если нет, какие числа могут быть реализованы как размерности $\mathbb{Q}$ как линейного пространства над различными полями?
3. Существует ли поле, над которым стандартное $\mathbb{R}$ является линейным пространством размерности $7000$?
4. Верно ли, что $\mathbb{R}$ является линейным пространством над $\mathbb{Q}$? Какова его размерность? (Этот вопрос уже возникал в теме).

Вот когда ответите на эти вопросы, то и все остальные вопросы (про размерность $\mathbb{C}$ над $R$) у вас пропадут и будете хоть что-то знать о размерностях линейных пространств. А пока не ответили, не морочьте голову форумчанам своим троллингом.

[Red_Herring]

skobar
Deathrose
Все правильно, но не просто бесполезно, а вредно. Вот, скажем, Vadim32 он же до своего "понимания" не сам додумался. Какая-то добрая душа объясняла ему про топологическую размеренность

[Sinoid]

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1653052 писал(а):

Но если мы рассмотрим комплексные числа как пространство над $\mathbb{C}$, то размерность такого пространства будет один. На интуитивном уровне вы можете думать, что теперь у вас вместо пары вещественных осей одна целая плоскость выступает как единый новый (комплексный) скаляр.

Я не спорить - я просто спросить. А какой пример базиса можно привести в качестве примера для этого рассмотрения? Я так-то, интуитивно, понимаю, что это так, но с примером базиса что-то затрудняюсь.

[Mikhail_K]

Sinoid
Базис в одномерном линейном пространстве $\mathbb{C}$ над полем $\mathbb{C}$ должен состоять из одного элемента. В качестве этого единственного элемента базиса подойдёт любое ненулевое комплексное число, например единица. А почему подойдёт - Вы объясните.

[skobar]

Sinoid в сообщении #1653079 писал(а):

Я не спорить - я просто спросить. А какой пример базиса можно привести в качестве примера для этого рассмотрения? Я так-то, интуитивно, понимаю, что это так, но с примером базиса что-то затрудняюсь

Как уже написал Mikhail_K в качестве базиса можно взять любое ненулевое комплексное число.

-- 04.09.2024, 10:31 --

Red_Herring в сообщении #1653077 писал(а):

skobar
Deathrose
Все правильно, но не просто бесполезно, а вредно.

Ну почему бесполезно? У меня большой опыт обучения тупых американских студентов и не только - вроде всем нравилось, как я объясняю.

Red_Herring

(Оффтоп)

Интересно, какие отзывы (evaluations) пишут на вас студенты? В другой ветке про диффуры вы так жестко наехали на человека - на западе так не принято.

[Gagarin1968]

Geen в сообщении #1652997 писал(а):

Нет никакой "Числовой Оси".

Andante в сообщении #1653003 писал(а):

А в школе учили что есть. Врали?

Geen в сообщении #1653004 писал(а):

Приведите, пожалуйста, цитату из учебника

Geen
Ну зачем так наезжать на школьника? Есть в школьных учебниках и справочниках это понятие, и оно вполне себе определяется. Я проверил и в Выгодском, и в Бронштейне—Семендяеве, и в старом советском учебнике Кочеткова. И даже в Википедии (не к ночи будь помянута!). Вот, пожалуйста.
P.S. Справедливости ради: в Бронштейне—Семендяеве она именуется числовой прямой.

[mihaild]

(мерность)

Legioner93 в сообщении #1653059 писал(а):

Ваше представление о мерности

А есть пример литературы, в которой используется термин "мерность"? И он чем-то отличается от размерности или нет?

[Red_Herring]

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1653108 писал(а):

Интересно, какие отзывы (evaluations) пишут на вас студенты?

У меня нет времени читать--потому что сотни просят рекомендацию, в основном в магистратуру. Известно, что отзывы студентов в основном имеют малое отношение к преподавателю. Если студен завалил Calculus II или ОДУ, и не должен быть допущен к УЧП, но убедил "добрую душу" среди административного персонала допустить, и завалил, то он(а) обвиняет не эту душу, не себя, а преподавателя. А студент, который не был допущен к классу, потому что в классе нет места, а нет места потому, что аудитория небольшая, а в то же время есть меньший класс с пустым листом ожидания, занимающий в то же самое время существенно большую аудиторию, ... если б мы писали отзывы на отдельные службы университета ...