Одномерное комплексное число

[Andante]

Разговаривал на тему пространства Минковского с профессиональным математиком и он выдвинул мне утверждение, что комплексное число одномерное. По моим понятиям, чтобы определить комплексное число нужно два вещественных, одного мало, поэтому комплексное всегда двумерное. Я попытался у него выяснить что он имеет в виду, но не осилил его мат. терминологию, а объяснить простыми словами он не умеет.
Может кто-нибудь мне растолковать, как назвать комплексное число одномерным? Что это за математическая терминология такая?

[dgwuqtj]

Обычно, когда в математическом анализе говорят про размерность, имеют в виду размерность над $\mathbb R$. Но вообще полезно рассматривать размерности над произвольными полями (и даже телами), в том числе над $\mathbb C$, когда это имеет смысл. Например, $\mathbb C$ как векторное пространство над самим собой одномерно, сфера Римана $\mathbb C \mathrm P^1$ является проективной прямой над $\mathbb C$ (одномерной!), а над $\mathbb R$ оба эти объекта двумерны. В теории чисел вообще часто можно встретить размерности над $\mathbb Q$ и конечными полями.

[Legioner93]

dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):

Разговаривал на тему пространства Минковского с профессиональным математиком и он выдвинул мне утверждение, что комплексное число одномерное.

Как профессиональный математик, он должен был привести вам пример и двумерного числа, что бы это ни значило.

Andante в сообщении #1652858 писал(а):

По моим понятиям, чтобы определить комплексное число нужно два вещественных, одного мало, поэтому комплексное всегда двумерное.

А рациональные числа у вас скольки-мерные? (следующий вопрос будет про целые )

[Mikhail_K]

dgwuqtj в сообщении #1652861 писал(а):

По моим понятиям, чтобы определить комплексное число нужно два вещественных

...либо одно комплексное (тривиальным образом).

Поэтому пространство комплексных чисел двумерно, если его рассматривать как линейное пространство над полем вещественных чисел, и одномерно, если его рассматривать как линейное пространство над полем комплексных чисел.

[Vadim32]

А вы не догадались его спросить - какова размерность пространства действительных чисел $\mathbb{R}$?

[Red_Herring]

Andante в сообщении #1652858 писал(а):

определить комплексное число нужно два вещественных, одного мало

Как известно, два вещественных числа можно записать в виде одного, просто перемежая цифры. Если ваш собеседник был профессиональным математиком, то он должен был понимать, с кем имеет дело и не метать бисер.

[Booker48]

Опередил меня уважаемый Red_Herring.
Может, тот знакомый имел в виду биекцию между множествами комплексных и действительных чисел?

[Red_Herring]

Booker48 в сообщении #1652929 писал(а):

Может, тот знакомый имел в виду биекцию между множествами комплексных и действительных чисел?

Что он имел в виду выяснить не удастся. Просто слово "определить" очень плохо определено.

[Andante]

Legioner93 в сообщении #1652866 писал(а):

Как профессиональный математик, он должен был привести вам пример и двумерного числа, что бы это ни значило.

Увы.

Рациональные, целые, вообще действительные одномерные, потому что их можно измерить проекцией на одну числовую ось. Соответственно, для комплексного числа осей надо две. Я ошибаюсь?

[Dedekind]

Andante в сообщении #1652989 писал(а):

Соответственно, для комплексного числа осей надо две. Я ошибаюсь?

Вам ведь уже ответили

Mikhail_K в сообщении #1652867 писал(а):

пространство комплексных чисел двумерно, если его рассматривать как линейное пространство над полем вещественных чисел, и одномерно, если его рассматривать как линейное пространство над полем комплексных чисел

[Andante]

Плоскость двумерная. Окружающий мир трехмерный. То есть, единицей измерения выступает числовая ось, так? Я спрашиваю потому, что разговор заходил о пространстве, а там определена система координат. Вот по числу координатных осей и счёт. С этой точки зрения комплексное число двумерное.

[Geen]

Andante в сообщении #1652989 писал(а):

Рациональные, целые, вообще действительные одномерные, потому что их можно измерить проекцией на одну числовую ось.

Вещественные числа над полем $\mathbb{Q}$ бесконечномерны.

-- 03.09.2024, 19:04 --

Andante в сообщении #1652996 писал(а):

То есть, единицей измерения выступает числовая ось, так?

Нет. Нет никакой "Числовой Оси".

[Andante]

А в школе учили что есть. Врали?

[Geen]

Andante в сообщении #1653003 писал(а):

А в школе учили что есть.

Приведите, пожалуйста, цитату из учебника.

[Dedekind]

Andante в сообщении #1652996 писал(а):

С этой точки зрения комплексное число двумерное.

Да, с этой точки зрения комплексное число двумерное.