Задачки по алгебре из Винберга

[Without Name]

nnosipov в сообщении #1652077 писал(а):

Without Name в сообщении #1652073 писал(а):

Почему из того, что числа $a, b$ имеют общий делитель, следует, что он делит число 1? Там ведь еще есть числа ${m}_{1}, {m}_{2}$

Неужели не видно, что число $am_1+bm_2$ делится на любое число, на которое делятся $a$ и $b$?

А, увидел. Глаза что-то замылились, хотя утро. Тут все просто.

[Without Name]

В учебнике Винберга после введения понятия характеристики поля дается известная формула $(a + b)^p = a^p + b^p$, где $a, b \in K, p = char K$. Корректность этой формулы доказывается при помощи бинома Ньютона. И дается задача: вывести отсюда, что в поле ${Z}_{p}$ справедливо тождество $a^p = a$.

Я попробовал вывести эту формулу так: $a^p = (1 + 1 + ... + 1)^p = 1^p + 1^p + ... + 1^p$ (здесь сумма $a$ единиц) и последнее выражение равно $a$. Я прав?
Это так просто выводится? Просто доказательства малой теорем Ферма гораздо сложнее.

[lel0lel]

Without Name в сообщении #1652209 писал(а):

Просто доказательства малой теорем Ферма гораздо сложнее.

Да, сложнее, но ровно на вот эту часть

Without Name в сообщении #1652209 писал(а):

дается известная формула $(a + b)^p = a^p + b^p$, где $a, b \in K, p = char K$.

[Without Name]

Пробую решить следующую задачу из Винберга.

Задача 1. Матрица ${E}_{ij}$, у которой на $(i, j)$-том месте стоит 1, а на остальных местах - нули, называется матричной единицей. Матричные единицы ${E}_{ij} (i, j = 1, ..., n)$ образуют базис векторного пространства ${L}_{n}(K)$. Выписать таблицу умножения алгебры ${L}_{n}(K)$ в этом базисе.

Как можно подступиться к этой задаче и решить ее? Я начал с того, что перемножил несколько пар матричных единиц, получая в результате либо опять матричную единицу, либо нулевую матрицу. Дальше продвинуться не удалось. Подскажите, пожалуйста.

-- 26.04.2025, 17:51 --

Вообще правильный ли учебник я выбрал для того, чтобы вспомнить алгебру? Винберг кирпич увесистый, но задач в нем мало, решений нет, вычислительных задач нет. Та же "Коммутативная алгебра" М. Атьи выглядит лучше в плане задач, их там очень много.

[dgwuqtj]

Возьмите вдобавок задачник, скажем, Фаддеев, Соминский, Сборник задач по высшей алгебре. В вашей задаче надо просто аккуратно использовать определение умножения матриц... Ну или возьмите случай $n = 2$ и напишите всю таблицу умножения явно, она $4 \times 4$.

[мат-ламер]

Without Name в сообщении #1683825 писал(а):

Я начал с того, что перемножил несколько пар матричных единиц, получая в результате либо опять матричную единицу, либо нулевую матрицу.

Закономерность уловили?

[Without Name]

мат-ламер в сообщении #1683839 писал(а):

Without Name в сообщении #1683825 писал(а):

Я начал с того, что перемножил несколько пар матричных единиц, получая в результате либо опять матричную единицу, либо нулевую матрицу.

Закономерность уловили?

Нет. Заполнил две строки таблицы, закономерность не увидел. Думал, что закономерность как-то связывает индексы, но не понял так это или нет

[dgwuqtj]

Можно ещё умножить $E_{ij}$ на матрицу общего вида $A = (a_{ij})_{ij}$, может, так увидите закономерность.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683839 писал(а):

Закономерность уловили?

Without Name в сообщении #1683845 писал(а):

Нет.

Как-то сравнить номер строки (столбца) с единицей первого множителя и второго.