Задачки по алгебре из Винберга

[dgwuqtj]

Without Name в сообщении #1650909 писал(а):

Остается доказать, что $K$ не является подкольцом.

Нет же, это уже подполе. Надо доказать, что $K$ содержит все рациональные числа.

[Without Name]

dgwuqtj в сообщении #1650912 писал(а):

Without Name в сообщении #1650909 писал(а):

Остается доказать, что $K$ не является подкольцом.

Нет же, это уже подполе. Надо доказать, что $K$ содержит все рациональные числа.

А как это доказать? У меня что-то нет никаких идей кроме как рассмотреть какие-нибудь суммы рациональных чисел.

[dgwuqtj]

Вот вы знаете, что там есть 0 и 1. Докажите теперь по порядку, что
1. В $K$ находятся все натуральные числа.
2. В $K$ находятся все целые числа.
3. В $K$ все рациональные числа.

[Without Name]

1. В $K$ находятся все натуральные числа, потому что мы можем построить все суммы вида: $0, 0+1, 0+1+1, 0+1+1+1...$ и так далее.
2. В $K$ содержатся все целые числа потому, что в дополнение к предыдущему пункту мы можем построить разности вида $0-1, 0-1-1, 0-1-1-1, ...$
3. В $K$ содержатся все рациональные числа потому, что мы можем построить все отношения целых чисел вида $\frac{p}{q}, p,q\in K$

Это правильно? Мы можем все это сделать потому, что $K$ по предположению - подполе. Это правильно?

[dgwuqtj]

Всё верно.

[Without Name]

Как понять, что отношение эквивалентности на множестве называется согласованным с операцией?

Пусть в множестве $M$ задана некоторая операция $(x, y) \to x\cdot y$. Отношение эквивалентности $R$ в множестве $M$ называется согласованным с операцией $\cdot$, если $a \sim a', b \sim b' \Rightarrow a\cdot b \sim a' \cdot b` $. В этом случае на фактормножестве $M/R$ также можно определить операцию $\cdot$ по правилу $R(a) \cdot R(b) = R(a \cdot b)$.

Как это понимать? Я пока из этого определения понял, что если есть пара элементов из одного класса эквивалентности и пара элементов из другого класса эквивалетности, то мы можем вычислить значение операции над элементами из разных классов эквивалентности, но больше я тут ничего не понял. Объясните, пожалуйста.

[drzewo]

Классы эквивалентности можно перемножать корректно. Берем любой элемент из класса $A$ умножаем на любой элемент из класса $B$ получаем элемент из класса $C$. Класс $C$ не зависит от того какие любые элементы мы боали из классов $A,B$

[dgwuqtj]

Тут можно думать не про операции, а вообще про отображения $f \colon M \to N$ в какое-то множество $N$. Хочется, чтобы $f$ задавало новое отображение $f' \colon M / R \to N$ по правилу $f'(R(a)) = f(a)$. Вот чтобы такое $f'$ можно было задать, вам и требуется условие $a \sim a' \Rightarrow f(a) = f(a')$.

Применительно к бинарным операциям у вас было отображение $M \times M \to M$, вы берёте его композицию с $M \to M / R$ и получаете $M \times M \to M / R, (a, b) \mapsto R(a \cdot b)$. После этого надо применить рассуждение выше к каждому аргументу по отдельности, чтобы индуцировать операцию $(M / R) \times (M / R) \to M / R$.

-- 24.08.2024, 12:26 --

Without Name в сообщении #1651246 писал(а):

и пара элементов из другого класса эквивалетности

Не обязательно из другого класса, может и из того же самого. Нам же надо в том числе и перемножать классы эквивалентности на себя.

[Without Name]

"Доказать, что при любом $n$ элемент $\bar{k}$ обратим в кольце $Z_n$ тогда и только тогда, когда $n$ и $k$ взаимно просты".

1) Пусть $\bar{k}$ обратим в $Z_n$, тогда он имеет обратный ${\bar{k}}^{-1}$ такой, что $\bar{k}{ \bar{k}}^{-1} = 1 $. Мы можем записать $\bar{k}{ \bar{k}}^{-1} - \bar{m} \bar{n} = 1$, это диофантово уравнение относительно $\bar{k}^{-1}$ и $\bar{m}$, которое разрешимо тогда, когда наибольший общий делитель$(k, m)$ делит единицу, то есть когда $k$ и $m$ взаимно просты.

Как отсюда вывести, что $k$ и $n$ взаимно просты?

2) Как доказать утверждение в обратном порядке?

[dgwuqtj]

А что вы вообще знаете про НОД?

[Without Name]

Что он выражается как линейная комбинация с целыми числами. Если $(a, b) = d$, то $d = ax + by, x, y \in Z$

[dgwuqtj]

Ну так это в одну сторону доказывает. А в другую посмотрите на определение.

[Without Name]

Разбираюсь с леммой, чтобы восполнить проблемы в знаниях. Числа $a, b \in Z$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют ${m}_{1}, {m}_{2} \in Z$ такие, что $a{m}_{1} + b{m}_{2}=1$. Доказательство. Пусть $a{m}_{1} + b{m}_{2}=1$, тогда любой общий делитель $d$ чисел $a, b$ является делителем числа 1, то есть $a, b$ взаимно просты.

Я здесь не понимаю элементарных свойств делимости. Почему из того, что числа $a, b$ имеют общий делитель, следует, что он делит число 1? Там ведь еще есть числа ${m}_{1}, {m}_{2}$

[dgwuqtj]

У делимости вообще мало элементарных свойств. Вы их список видели? В учебнике за 6 класс точно были, ну и в Википедии есть. Просто некоторые свойства применимы только к конкретным классам колец типа евклидовых, а некоторые - вообще ко всем коммутативным кольцам с 1.

[nnosipov]

Without Name в сообщении #1652073 писал(а):

Почему из того, что числа $a, b$ имеют общий делитель, следует, что он делит число 1? Там ведь еще есть числа ${m}_{1}, {m}_{2}$

Неужели не видно, что число $am_1+bm_2$ делится на любое число, на которое делятся $a$ и $b$?