2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 20  След.
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:12 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651480 писал(а):
Отлично. Формулу вкл-искл теперь, думаю, сможете применить. Рискнем)


4+4-2=8-2=6

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:21 


22/11/22
605
Так.
А вот теперь возьмем все нужное и соберем тут.
Elijah96 в сообщении #1651479 писал(а):
$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Elijah96 в сообщении #1651404 писал(а):
В случае для двух множеств A и B формула включений/исключений имеет вид:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \quad\quad\quad\eqno(1)$

Ваше же: 6=4+4-2

и нужное:
dgwuqtj в сообщении #1651407 писал(а):
Более-менее строгое доказательство может выглядеть так. Пусть $A$ и $B$ — конечные множества (иначе формула вообще бессмысленная). Посмотрим, сколько раз каждый элемент $x$ был посчитан в правой и левой части. Если $x$ не входит ни в $A$, ни в $B$, то в обеих частях он посчитан 0 раз. Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$). Наконец, если $x \in A \cap B$, то слева он посчитан 1 раз, а справа он будет учтён во всех трёх слагаемых, итого $1 + 1 - 1 = 1$. То есть тут перебор всех возможных случаев.


Как вы, сможете найти икс, который входит только в A? Например, какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:25 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651483 писал(а):
Так.
А вот теперь возьмем все нужное и соберем тут.
Elijah96 в сообщении #1651479 писал(а):
$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Elijah96 в сообщении #1651404 писал(а):
В случае для двух множеств A и B формула включений/исключений имеет вид:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Ваше же: 6=4+4-2

и нужное:
dgwuqtj в сообщении #1651407 писал(а):
Более-менее строгое доказательство может выглядеть так. Пусть $A$ и $B$ — конечные множества (иначе формула вообще бессмысленная). Посмотрим, сколько раз каждый элемент $x$ был посчитан в правой и левой части. Если $x$ не входит ни в $A$, ни в $B$, то в обеих частях он посчитан 0 раз. Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$). Наконец, если $x \in A \cap B$, то слева он посчитан 1 раз, а справа он будет учтён во всех трёх слагаемых, итого $1 + 1 - 1 = 1$. То есть тут перебор всех возможных случаев.


Как вы, сможете найти икс, который входит только в A? Например, какой?


Только в А входит 2 и 8
Если выбирать за $x$ то пусть будет 2

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:29 


22/11/22
605
Ну вот и пусть. (Пользуйтесь кнопкой Вставка, выделяете нужное и жмете кнопку, страшно удобно. Большие цитаты мешают).
Elijah96 в сообщении #1651484 писал(а):
Если выбирать за $x$ то пусть будет 2

Вот и пусть. Теперь читаем, какая часть текста про этот икс. Проверяем и часть текста, - а как? - проверяем формулу в этой части. Выделите часть текста, заодно и потренируетесь )

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:33 


09/01/24
274
Elijah96 в сообщении #1651484 писал(а):
Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:34 


22/11/22
605
Все верно. А вы проверили само утверждение, оно верное для выбранного элемента?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:39 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651487 писал(а):
Все верно. А вы проверили само утверждение, оно верное для выбранного элемента?


Давайте попробую

Пусть есть два множества $A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Пусть есть элемент 2

Тогда $2 \in A$ и $2 \notin B$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $2 \notin A \cap B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:41 


22/11/22
605
ну там много чего, продолжайте. И не забудьте объединение сразу написать. Все равно пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:52 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651490 писал(а):
ну там много чего, продолжайте. И не забудьте объединение сразу написать. Все равно пригодится.


Попробую полностью доказать:

Дана формула включений/исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Пусть есть два множества $$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace $

И есть их пересечение

$A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

Пусть есть элемент 2

Тогда $2 \in A$ и $2 \notin B$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $2 \notin A \cap B$

Значит элемент 2 принадлежит А но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$

Так как элемент 2 принадлежит A но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в правой части формулы

Пусть есть элемент 7

Тогда $7 \in B$ и $7 \notin A$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $7 \notin A \cap B$

Значит элемент 7 принадлежит B но не принадлежит A и не принадлежит $A \cap B$

Так как элемент 7 принадлежит B но не принадлежит A и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в правой части формулы

Пусть есть элемент 6

Тогда $6 \in A$ и $6 \in B$ и $6 \in A \cap B$

Так как элемент 6 принадлежит и A и B и $A \cap B $ то он посчитан три раза в правой части формулы

А дальше я повис)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:56 


22/11/22
605
Elijah96 в сообщении #1651496 писал(а):
Так как элемент 2 принадлежит A но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в левой части формулы

Вы лево с правом не путайте и про обе части говорите, пож-ста, но в целом это уже что-то более осмысленное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 20:59 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651500 писал(а):
Вы лево с правом не путайте


Да,спасибо,исправил

Combat Zone в сообщении #1651500 писал(а):
про обе части говорите, пож-ста


2 и 7 в левой части тоже посчитаны по одному разу(поскольку не входят в пересечение AB),а вот сколько раз там посчитан элемент 6 я затрудняюсь ответить(по идее он должен быть посчитан один раз(поскольку это $A \cup B$,а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 21:02 


22/11/22
605
Объединение так и не написали, а на слово я не верю )

-- 25.08.2024, 20:03 --

Elijah96 в сообщении #1651501 писал(а):
а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

Да. Это всегда так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 21:04 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651502 писал(а):
Объединение так и не написали, а на слово я не верю )


Щас исправим)

Пусть есть два множества $$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace $

И есть их пересечение

$A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

Тогда их объединение $A \cup B$ = $\lbrace 1,2,6,7,8,9 \rbrace$

Так?

-- 25.08.2024, 21:05 --

Combat Zone в сообщении #1651502 писал(а):
Объединение так и не написали, а на слово я не верю )

-- 25.08.2024, 20:03 --

Elijah96 в сообщении #1651501 писал(а):
а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

Да. Это всегда так.


Значит в левой части формулы все элементы ВСЕГДА учтены по одному разу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 21:09 


22/11/22
605
Elijah96 в сообщении #1651503 писал(а):
Значит в левой части формулы все элементы ВСЕГДА учтены по одному разу?

Да, о чем вам и говорили. Каждый - однократно.
Ну или ноль, если элемент не попадает ни в одно из множеств.

То есть или 1=1+0-0 (1=0+1-0) или 1=1+1-1, или 0=0+0-0 (про это тоже там есть, найдите).

-- 25.08.2024, 20:10 --

Elijah96 в сообщении #1651503 писал(а):
Так?

Так. Проверяйте формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 21:10 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651506 писал(а):
Да, о чем вам и говорили. Каждый - однократно.


Но в правой то части формулы элемент 6 посчитан трижды,или так и должно быть?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 298 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 20  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group