Формула включений/исключений

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1651439 писал(а):

Короче я вообще запутался что и как(

Аксиома экстенсиональности: множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда для любого элемента $x$ из $x \in A$ следует $x \in B$ и наоборот. Так что $\{1, 1\} = \{1\}$, этим множествам принадлежит только элемент 1. Никаких кратностей в множествах не бывает.

Вообще, если не вдаваться в различия между множествами и классами, то множество $X$ — это просто некоторый предикат на совокупности всех математических объектов, то есть оно по каждому объекту выдаёт истину (если объект ему "принадлежит") или ложь. Когда мы пишем $\{1, 2\}$, это означает множество, которому принадлежат 1 и 2, а всё остальное — не принадлежит. Запись $\{1, 1\}$ означает буквально то же самое, что и $\{1\}$. Операции $\cap$, $\cup$, $\setminus$ соответствуют логическим операциям с предикатами (конъюнкции, дизъюнкции и импликации с переставленными аргументами). Ну а дополнение множества соответствовало бы отрицанию, если бы это дополнение существовало в ZFC.

[Elijah96]

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Если $x$ не принадлежит ни одному множеству ни $|A|$ ни $|B|$ ни $|C|$ то он учтен 0 раз и в левой и в правой части
Если $x$ принадлежит только множеству или $|A|$ или $|B|$ или $|C|$ то он учтен по 1 разу в каждом множестве и в левой и в правой части
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $ |A \cap B| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |A|,|B|,|A \cap B|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|A \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |A|,|C|,|A \cap C|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|B \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |B|,|C|,|B \cap C|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|A \cap B \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $|A|,|B|,|C|,|A \cap B|,|A \cap C|,|B \cap C|,|A \cap B \cap C|$

Я попытался распространить для трех множеств то,что Вы написали для двух множеств

[dgwuqtj]

Во-первых, $x$ не может принадлежать числам $|A|$, $|B|$ и так далее. Во-вторых, из $x \in A \cap B$ не следуют ни $x \in A \cap B \cap C$, ни $x \notin A \cap B \cap C$. Ну и если $x \in A \setminus (B \cup C)$, то он не "учтён в множествах", а посчитан в их мощностях, причём не во всех из правой части, а только в одной-единственной (собственно, в $|A|$).

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1651445 писал(а):

Во-первых, $x$ не может принадлежать числам $|A|$, $|B|$ и так далее. Во-вторых, из $x \in A \cap B$ не следуют ни $x \in A \cap B \cap C$, ни $x \notin A \cap B \cap C$. Ну и если $x \in A \setminus (B \cup C)$, то он не "учтён в множествах", а посчитан в их мощностях, причём не во всех из правой части, а только в одной-единственной (собственно, в $|A|$).

Да,легче не стало
Короче я эту формулу похоже не докажу(

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651426 писал(а):

Пусть есть три множества A,B,C

$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace1,9,6,7 \rbrace , C = \lbrace 1,5,8,9 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace , A \cap C = \lbrace 1,8 \rbrace , B \cap C = \lbrace 1,9 \rbrace , A \cap B \cap C = \lbrace 1 \rbrace $

Берем формулу включений/исключений

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Напишите левую и правую часть последней формулы для ваших множеств.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651449 писал(а):

Напишите левую и правую часть последней формулы для ваших множеств.

Какой последней формулы?
Я просто заменил множество на элементы входящие в него
Но мне уже сказали что так не работает
И если Вы хотите еще раз доказать что я не прав,то не стоит,я это и так уже понял

[Combat Zone]

Я ничего не хочу доказать, я хочу понять, в чем проблема. Тут выше выяснили, что например в том, что вы не знаете, что такое объединение. Но она не одна. Как вы понимаете последнюю формулу, что там будет стоять для ваших конкретных множеств? Вы опять считаете, что множества. А ведь уже обсудили вроде, что две палочки не просто так рисуют.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1651371 писал(а):

Вообще давайте введём обозначение $\cup_{\geq 2}(A_1, \ldots, A_n) = \bigcup_{1 \leq i < j \leq n} (A_i \cap A_j)$, то есть множество тех элементов, которые входят в хотя бы два множества из $A_1, \ldots, A_n$ (вам вроде именно это надо). Можно руками получить такие формулы: $|\cup_{\geq 2}(A)| = 0$, $|\cup_{\geq 2}(A, B)| = |A \cap B|$, $|\cup_{\geq 2}(A, B, C)| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 |A \cap B \cap C|$,

$$\substack{|\cup_{\geq 2}(A, B, C, D)| = |A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|\\ - 2 |A \cap B \cap C| - 2 |A \cap B \cap D| - 2 |A \cap C \cap D| - 2 |B \cap C \cap D| + 3 |A \cap B \cap C \cap D|}.$$

А дальше можете угадать формулу и попробовать её доказать...

То есть сначала нужно сложить все попарные пересечения,затем дважды вычесть все тройные пересечения,затем трижды прибавить четверное пересечение и т.д. до окончания расчетов?

[Combat Zone]

post1651451.html#p1651451 я про это. Вы сейчас про что-то странное, не отклоняйтесь.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651453 писал(а):

Я ничего не хочу доказать, я хочу понять, в чем проблема.

Проблема в том что я не докажу формулу включений/исключений

Elijah96 в сообщении #1651455 писал(а):

Как вы понимаете последнюю формулу, что там будет стоять для ваших конкретных множеств?

Вы про это?

$ \lbrace 1,2,5,6,7,8,9 \rbrace = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace + \lbrace 1,9,6,7 \rbrace + \lbrace 1,5,8,9 \rbrace - \lbrace 1,6 \rbrace - \lbrace 1,8 \rbrace - \lbrace 1,9 \rbrace + \lbrace 1 \rbrace$

Combat Zone в сообщении #1651453 писал(а):

А ведь уже обсудили вроде, что две палочки не просто так рисуют.

Две палочки это мощность,то есть количество элементов входящих в множество.
Я вроде это уже писал

-- 25.08.2024, 19:10 --

Combat Zone в сообщении #1651456 писал(а):

Вы сейчас про что-то странное, не отклоняйтесь.

Это ответ на ранний пост от dgwuqtj

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):

Вы про это?

так что в формулу включений-исключений входит? Мощность или множество?

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):

Две палочки это мощность,то есть количество элементов входящих в множество.
Я вроде это уже писал

Писать-то вы писали...

-- 25.08.2024, 18:13 --

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):

Это ответ на ранний пост от dgwuqtj

Вы успели ответить и на мой тоже. И потом стерли.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651458 писал(а):

так что в формулу включений-исключений входит? Мощность или множество?

Мощность множеств?

[Combat Zone]

Так. А почему вы складываете множества?

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651460 писал(а):

Так. А почему вы складываете множества?

Где?
В формуле включений/исключений складываются мощности множеств

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):

$ \lbrace 1,2,5,6,7,8,9 \rbrace = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace + \lbrace 1,9,6,7 \rbrace + \lbrace 1,5,8,9 \rbrace - \lbrace 1,6 \rbrace - \lbrace 1,8 \rbrace - \lbrace 1,9 \rbrace + \lbrace 1 \rbrace$