Формула включений/исключений

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651480 писал(а):

Отлично. Формулу вкл-искл теперь, думаю, сможете применить. Рискнем)

4+4-2=8-2=6

[Combat Zone]

Так.
А вот теперь возьмем все нужное и соберем тут.

Elijah96 в сообщении #1651479 писал(а):

$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Elijah96 в сообщении #1651404 писал(а):

В случае для двух множеств A и B формула включений/исключений имеет вид:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \quad\quad\quad\eqno(1)$

Ваше же: 6=4+4-2

и нужное:

dgwuqtj в сообщении #1651407 писал(а):

Более-менее строгое доказательство может выглядеть так. Пусть $A$ и $B$ — конечные множества (иначе формула вообще бессмысленная). Посмотрим, сколько раз каждый элемент $x$ был посчитан в правой и левой части. Если $x$ не входит ни в $A$, ни в $B$, то в обеих частях он посчитан 0 раз. Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$). Наконец, если $x \in A \cap B$, то слева он посчитан 1 раз, а справа он будет учтён во всех трёх слагаемых, итого $1 + 1 - 1 = 1$. То есть тут перебор всех возможных случаев.

Как вы, сможете найти икс, который входит только в A? Например, какой?

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651483 писал(а):

Так.
А вот теперь возьмем все нужное и соберем тут.

Elijah96 в сообщении #1651479 писал(а):

$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Elijah96 в сообщении #1651404 писал(а):

В случае для двух множеств A и B формула включений/исключений имеет вид:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Ваше же: 6=4+4-2

и нужное:

dgwuqtj в сообщении #1651407 писал(а):

Более-менее строгое доказательство может выглядеть так. Пусть $A$ и $B$ — конечные множества (иначе формула вообще бессмысленная). Посмотрим, сколько раз каждый элемент $x$ был посчитан в правой и левой части. Если $x$ не входит ни в $A$, ни в $B$, то в обеих частях он посчитан 0 раз. Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$). Наконец, если $x \in A \cap B$, то слева он посчитан 1 раз, а справа он будет учтён во всех трёх слагаемых, итого $1 + 1 - 1 = 1$. То есть тут перебор всех возможных случаев.

Как вы, сможете найти икс, который входит только в A? Например, какой?

Только в А входит 2 и 8
Если выбирать за $x$ то пусть будет 2

[Combat Zone]

Ну вот и пусть. (Пользуйтесь кнопкой Вставка, выделяете нужное и жмете кнопку, страшно удобно. Большие цитаты мешают).

Elijah96 в сообщении #1651484 писал(а):

Если выбирать за $x$ то пусть будет 2

Вот и пусть. Теперь читаем, какая часть текста про этот икс. Проверяем и часть текста, - а как? - проверяем формулу в этой части. Выделите часть текста, заодно и потренируетесь )

[Elijah96]

Elijah96 в сообщении #1651484 писал(а):

Если он входит ровно в одно из множеств $A$ или $B$, то в левой части он посчитан 1 раз, и в правой тоже 1 раз, так как он даст вклад ровно в одно слагаемое $|A|$ или $|B|$ (и он не содержится в $A \cap B$)

[Combat Zone]

Все верно. А вы проверили само утверждение, оно верное для выбранного элемента?

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651487 писал(а):

Все верно. А вы проверили само утверждение, оно верное для выбранного элемента?

Давайте попробую

Пусть есть два множества $A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

Пусть есть элемент 2

Тогда $2 \in A$ и $2 \notin B$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $2 \notin A \cap B$

[Combat Zone]

ну там много чего, продолжайте. И не забудьте объединение сразу написать. Все равно пригодится.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651490 писал(а):

ну там много чего, продолжайте. И не забудьте объединение сразу написать. Все равно пригодится.

Попробую полностью доказать:

Дана формула включений/исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Пусть есть два множества $$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace $

И есть их пересечение

$A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

Пусть есть элемент 2

Тогда $2 \in A$ и $2 \notin B$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $2 \notin A \cap B$

Значит элемент 2 принадлежит А но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$

Так как элемент 2 принадлежит A но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в правой части формулы

Пусть есть элемент 7

Тогда $7 \in B$ и $7 \notin A$

Так же $A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

А значит $7 \notin A \cap B$

Значит элемент 7 принадлежит B но не принадлежит A и не принадлежит $A \cap B$

Так как элемент 7 принадлежит B но не принадлежит A и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в правой части формулы

Пусть есть элемент 6

Тогда $6 \in A$ и $6 \in B$ и $6 \in A \cap B$

Так как элемент 6 принадлежит и A и B и $A \cap B $ то он посчитан три раза в правой части формулы

А дальше я повис)

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651496 писал(а):

Так как элемент 2 принадлежит A но не принадлежит B и не принадлежит $A \cap B$ то он посчитан один раз в левой части формулы

Вы лево с правом не путайте и про обе части говорите, пож-ста, но в целом это уже что-то более осмысленное.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651500 писал(а):

Вы лево с правом не путайте

Да,спасибо,исправил

Combat Zone в сообщении #1651500 писал(а):

про обе части говорите, пож-ста

2 и 7 в левой части тоже посчитаны по одному разу(поскольку не входят в пересечение AB),а вот сколько раз там посчитан элемент 6 я затрудняюсь ответить(по идее он должен быть посчитан один раз(поскольку это $A \cup B$,а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

[Combat Zone]

Объединение так и не написали, а на слово я не верю )

-- 25.08.2024, 20:03 --

Elijah96 в сообщении #1651501 писал(а):

а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

Да. Это всегда так.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651502 писал(а):

Объединение так и не написали, а на слово я не верю )

Щас исправим)

Пусть есть два множества $$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace $

И есть их пересечение

$A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace$

Тогда их объединение $A \cup B$ = $\lbrace 1,2,6,7,8,9 \rbrace$

Так?

-- 25.08.2024, 21:05 --

Combat Zone в сообщении #1651502 писал(а):

Объединение так и не написали, а на слово я не верю )

-- 25.08.2024, 20:03 --

Elijah96 в сообщении #1651501 писал(а):

а в объединении все элементы должны быть учтены по одному разу,так?)))

Да. Это всегда так.

Значит в левой части формулы все элементы ВСЕГДА учтены по одному разу?

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651503 писал(а):

Значит в левой части формулы все элементы ВСЕГДА учтены по одному разу?

Да, о чем вам и говорили. Каждый - однократно.
Ну или ноль, если элемент не попадает ни в одно из множеств.

То есть или 1=1+0-0 (1=0+1-0) или 1=1+1-1, или 0=0+0-0 (про это тоже там есть, найдите).

-- 25.08.2024, 20:10 --

Elijah96 в сообщении #1651503 писал(а):

Так?

Так. Проверяйте формулу.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651506 писал(а):

Да, о чем вам и говорили. Каждый - однократно.

Но в правой то части формулы элемент 6 посчитан трижды,или так и должно быть?