Формула включений/исключений

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1651455 писал(а):

То есть сначала нужно сложить все попарные пересечения,затем дважды вычесть все тройные пересечения,затем трижды прибавить четверное пересечение и т.д. до окончания расчетов?

Складываем и вычитаем мощности всех этих штук. Выглядит правдоподобно, только без доказательства бесполезно.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651462 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):

$ \lbrace 1,2,5,6,7,8,9 \rbrace = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace + \lbrace 1,9,6,7 \rbrace + \lbrace 1,5,8,9 \rbrace - \lbrace 1,6 \rbrace - \lbrace 1,8 \rbrace - \lbrace 1,9 \rbrace + \lbrace 1 \rbrace$

Это же и есть мощность множеств
В трех множествах есть по 4 элемента
Значит мощность каждого множества будет равна 4
Или нет?

-- 25.08.2024, 19:20 --

dgwuqtj в сообщении #1651463 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1651455 писал(а):

То есть сначала нужно сложить все попарные пересечения,затем дважды вычесть все тройные пересечения,затем трижды прибавить четверное пересечение и т.д. до окончания расчетов?

Складываем и вычитаем мощности всех этих штук. Выглядит правдоподобно, только без доказательства бесполезно.

Но логика верна?
А доказать я это не смогу вообще

[Combat Zone]

Это не есть мощность множеств. Чему равна $|A|$?

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651466 писал(а):

Это не есть мощность множеств. Чему равна $|A|$?

В моем примере?
$|A| = 4$

Так как в множестве $A$ четыре элемента {1,2,6,8}

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651464 писал(а):

Значит мощность каждого множества будет равна 4

А, сорри. Четыре, вижу.
А мощность объединения?

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1651464 писал(а):

Но логика верна?

Я не вижу тут логики, это просто распознавание закономерности. Как в загадках вида "какое число будет следующим в $2, 3, 5, 7, \ldots$". Угадали вы или нет, зависит от того, получится ли доказать.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651469 писал(а):

А мощность объединения?

Должна быть равна 7(если я правильно посчитал)

$|A \cup B \cup C|$ = {1,2,5,6,7,8,9}

То есть 7 элементов должно быть

[Combat Zone]

Мощность - количество элементов. Это число. Число и множество разные структуры. Зачем вы их опять приравняли?

$|A \cup B \cup C|= 7$

А теперь подставляйте в формулу, проверим, правильно или нет. Конечно, это не доказательство, но хоть проверим.

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

7 = 4 + 4 +...
дальше сами.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651472 писал(а):

Мощность - количество элементов. Это число. Число и множество разные структуры. Зачем вы их опять приравняли?

$|A \cup B \cup C|= 7$

А теперь подставляйте в формулу, проверим, правильно или нет. Конечно, это не доказательство, но хоть проверим.

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

7 = 4 + 4 +...
дальше сами.

4+4+4-2-2-2+1 = 12-6+1=7

-- 25.08.2024, 19:39 --

Combat Zone в сообщении #1651472 писал(а):

Зачем вы их опять приравняли?

Я просто показал какие элементы входят в $|A \cup B \cup C|$

[Dedekind]

Elijah96 в сообщении #1651439 писал(а):

Почему $\{1,1,1,2,6,6,5,7,8,8,9,9\} = \{1, 2, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ?

Ууу, это прям вообще плохо. Повторите, что такое множество. Спойлер: ни порядок, ни количество повторений при перечислении элементов множества не учитываются. То есть, $\{1,1,1,2,6,6,5,7,8,8,9,9\} = \{1, 2, 5, 6, 7, 8, 9\} = \{9, 2, 5, 6, 7, 8, 1\} = \{5, 8, 1, 6, 7, 2, 9, 9\}$ и т.д.
А по какой книге Вы занимаетесь?

[Combat Zone]

Elijah96 в сообщении #1651473 писал(а):

4+4+4-2-2-2+1 = 7

Вот так в вашем случае и выглядит формула включения-исключения, а не все что было. Это хоть прояснилось?

Тождество? Славно.

За доказательством в учебник, не пересказывать же его здесь.

(Оффтоп)

Elijah96 в сообщении #1651473 писал(а):

Я просто показал какие элементы входят в $|A \cup B \cup C|$

Не надо, во-первых, я помню, а во-вторых, получилось что-то нецензурное.

-- 25.08.2024, 18:49 --

И да, с объединением действительно у вас какие-то траблы, наведите порядок. Вы в итоге получаете верное, но получаете вы это какими-то немыслимыми средствами. Тут уже у вас хочется спросить логику, но я боюсь.

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651475 писал(а):

Вот так в вашем случае и выглядит формула включения-исключения, а не все что было. Это хоть прояснилось?

А почему тогда у dgwuqtj получилось 1?(хоть там было и два множества)
http://dxdy.ru/post1651407.html#p1651407

[Combat Zone]

Потому что он брал один элемент.
Давайте посмотрим, что он писал на самом деле.
Возьмите два ваши любые множества А и B, принесите сюда (вместе с элементами), чтобы далеко не глядеть. Будем расшифровывать :)

[Elijah96]

Combat Zone в сообщении #1651478 писал(а):

Потому что он брал один элемент.
Давайте посмотрим, что он писал на самом деле.
Возьмите два ваши любые множества А и B, принесите сюда (вместе с элементами), чтобы далеко не глядеть. Будем расшифровывать :)

Давайте возьмем как раз A и B

$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace 1,9,6,7 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace $

[Combat Zone]

Отлично. Формулу вкл-искл теперь, думаю, сможете применить. Рискнем)