Магические квадраты

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Получается, что новый сорт. Нужно название придумать, что-то типа "совершенно идеальный" или "superultramagic"

[AD]

Aleks-Sid в сообщении #165050 писал(а):

superultramagic

Периодически вытаскиваю из почтовых ящиков рекламу кондиционеров с глубокомысленными названиями "супер-плюс-ультра" и "супер-плюс-ультра-люкс".

[Aleks-Sid]

AD

За прогрессом не угнаться. Нужно было раньше думать и маркировать как автомобили, например, "Мagic-600"

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Получается, что новый сорт. Нужно название придумать, что-то типа "совершенно идеальный" или "superultramagic"

Нет, лучше идеально-совершенный! До кучи: где ИМК, там и ИСМК

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Согласен! Итак утверждаем новую ветвь магических квадратов - идеально-совершенных! Отныне 6 декабря отмечаем праздник с концертами, салютами и прочими развлечениями. Так же, как день Милиции 10 ноября.
(хотя меня так и подмывало назвать эти уникальные структуры пандассовыми ; еще смешней - по имени жулика-гранд-президента: джаясекаровыми)

[maxal]

Обсуждение латинских квадратов слишком отошло от магических, и все сообщения перенесены в соответствующую тему. Обсуждение латинских квадратов здесь возможно только в контексте магических квадратов.

[Nataly-Mak]

Между прочим, не диагональные ортогональные (классические) латинские квадраты тоже годятся для построения магических квадратов. Есть много примеров, когда в одной диагонали обоих латинских квадратов есть одинаковые числа, а магический квадрат из такой пары латинских квадратов строится (тот же метод Делаира).
Второй аспект: построение полумагических квадратов с помощью пары ортогональных латинских квадратов. Кстати сказать, я нигде не видела методов построения полумагических квадратов и знаю только один метод построения таких квадратов – это знаменитый алгоритм Франклина.
Итак, берём пару ортогональных латинских квадратов (один из них или даже оба не диагональные) и точно так же строим методом латинских квадратов полумагический квадрат. Пример для порядка 9. Вот пара ортогональных латинских квадратов, один из квадратов не диагональный.

0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 6 7 8 0 1 2
4 5 3 7 8 6 1 2 0
5 3 4 8 6 7 2 0 1
6 7 8 0 1 2 3 4 5
7 8 6 1 2 0 4 5 3
8 6 7 2 0 1 5 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 0 1 2
6 7 8 0 1 2 3 4 5
7 8 6 1 2 0 4 5 3
1 2 0 4 5 3 7 8 6
4 5 3 7 8 6 1 2 0
5 3 4 8 6 7 2 0 1
8 6 7 2 0 1 5 3 4
2 0 1 5 3 4 8 6 7

Полумагический квадрат, построенный из данной пары латинских квадратов:

1  11  21  31  41  51  61  71  81 
 13  23  6  43  53  36  64  74  57 
 25  8  18  46  29  39  76  59  69 
 35  45  52  56  66  73  5  15  22 
 38  48  28  68  78  58  17  27  7 
 50  33  40  80  63  70  20  3  10 
 60  67  77  9  16  26  30  37  47 
 72  79  62  12  19  2  42  49  32 
 75  55  65  24  4  14  54  34  44

В квадрате нет магической суммы чисел только в одной главной диагонали.
Прислали мне статью (shwedka, спасибо!), в которой вижу три ортогональных латинских квадрата 22-го порядка. Больше пока ничего не вижу (надо перевести статью), но вроде бы описывается процесс построения этих квадратов. Жалко, что эти ЛК не диагональные. И все они “хромают” только на одну диагональ. И опять беру пару ортогональных квадратов 22-го порядка и строю полумагический квадрат. Этот квадрат тоже “хромает” только на одну диагональ. Вот пара ортогональных ЛК 22-го порядка (может быть, кто-то заинтересуется алгоритмом построения этих квадратов; могу статьёй поделиться):

0 17 16 15 11 4 9 5 13 3 20 21 14 19 10 12 8 18 6 2 7 1
8 1 18 17 16 12 5 10 6 14 4 0 21 15 20 11 13 9 19 7 3 2
4 9 2 19 18 17 13 6 11 7 15 5 1 21 16 0 12 14 10 20 8 3
9 5 10 3 20 19 18 14 7 12 8 16 6 2 21 17 1 13 15 11 0 4
1 10 6 11 4 0 20 19 15 8 13 9 17 7 3 21 18 2 14 16 12 5
13 2 11 7 12 5 1 0 20 16 9 14 10 18 8 4 21 19 3 15 17 6
18 14 3 12 8 13 6 2 1 0 17 10 15 11 19 9 5 21 20 4 16 7
17 19 15 4 13 9 14 7 3 2 1 18 11 16 12 20 10 6 21 0 5 8
6 18 20 16 5 14 10 15 8 4 3 2 19 12 17 13 0 11 7 21 1 9
2 7 19 0 17 6 15 11 16 9 5 4 3 20 13 18 14 1 12 8 21 10
21 3 8 20 1 18 7 16 12 17 10 6 5 4 0 14 19 15 2 13 9 11
10 21 4 9 0 2 19 8 17 13 18 11 7 6 5 1 15 20 16 3 14 12
15 11 21 5 10 1 3 20 9 18 14 19 12 8 7 6 2 16 0 17 4 13
5 16 12 21 6 11 2 4 0 10 19 15 20 13 9 8 7 3 17 1 18 14
19 6 17 13 21 7 12 3 5 1 11 20 16 0 14 10 9 8 4 18 2 15
3 20 7 18 14 21 8 13 4 6 2 12 0 17 1 15 11 10 9 5 19 16
20 4 0 8 19 15 21 9 14 5 7 3 13 1 18 2 16 12 11 10 6 17
7 0 5 1 9 20 16 21 10 15 6 8 4 14 2 19 3 17 13 12 11 18
12 8 1 6 2 10 0 17 21 11 16 7 9 5 15 3 20 4 18 14 13 19
14 13 9 2 7 3 11 1 18 21 12 17 8 10 6 16 4 0 5 19 15 20
16 15 14 10 3 8 4 12 2 19 21 13 18 9 11 7 17 5 1 6 20 0
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21

0 8 21 18 17 13 16 19 10 2 9 6 15 11 4 20 12 14 1 7 5 3
6 1 9 21 19 18 14 17 20 11 3 10 7 16 12 5 0 13 15 2 8 4
9 7 2 10 21 20 19 15 18 0 12 4 11 8 17 13 6 1 14 16 3 5
4 10 8 3 11 21 0 20 16 19 1 13 5 12 9 18 14 7 2 15 17 6
18 5 11 9 4 12 21 1 0 17 20 2 14 6 13 10 19 15 8 3 16 7
17 19 6 12 10 5 13 21 2 1 18 0 3 15 7 14 11 20 16 9 4 8
5 18 20 7 13 11 6 14 21 3 2 19 1 4 16 8 15 12 0 17 10 9
11 6 19 0 8 14 12 7 15 21 4 3 20 2 5 17 9 16 13 1 18 10
19 12 7 20 1 9 15 13 8 16 21 5 4 0 3 6 18 10 17 14 2 11
3 20 13 8 0 2 10 16 14 9 17 21 6 5 1 4 7 19 11 18 15 12
16 4 0 14 9 1 3 11 17 15 10 18 21 7 6 2 5 8 20 12 19 13
20 17 5 1 15 10 2 4 12 18 16 11 19 21 8 7 3 6 9 0 13 14
14 0 18 6 2 16 11 3 5 13 19 17 12 20 21 9 8 4 7 10 1 15
2 15 1 19 7 3 17 12 4 6 14 20 18 13 0 21 10 9 5 8 11 16
12 3 16 2 20 8 4 18 13 5 7 15 0 19 14 1 21 11 10 6 9 17
10 13 4 17 3 0 9 5 19 14 6 8 16 1 20 15 2 21 12 11 7 18
8 11 14 5 18 4 1 10 6 20 15 7 9 17 2 0 16 3 21 13 12 19
13 9 12 15 6 19 5 2 11 7 0 16 8 10 18 3 1 17 4 21 14 20
15 14 10 13 16 7 20 6 3 12 8 1 17 9 11 19 4 2 18 5 21 0
21 16 15 11 14 17 8 0 7 4 13 9 2 18 10 12 20 5 3 19 6 1
7 21 17 16 12 15 18 9 1 8 5 14 10 3 19 11 13 0 6 4 20 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 21

А это полумагический квадрат 22х22, построенный из данной пары ортогональных ЛК:

1  383  374  349  260  102  215  130  297  69  450  469  324  430  225  285  189  411  134  52  160  26 
 183  24  406  396  372  283  125  238  153  320  92  11  470  347  453  248  287  212  434  157  75  49 
 98  206  47  429  418  395  306  148  261  155  343  115  34  471  370  14  271  310  235  457  180  72 
 203  121  229  70  452  440  397  329  171  284  178  366  138  57  472  393  37  294  333  258  18  95 
 41  226  144  252  93  13  462  420  331  194  307  201  389  161  80  473  416  60  317  356  281  118 
 304  64  249  167  275  116  36  22  443  354  217  309  224  412  184  103  474  439  83  340  379  141 
 402  327  87  272  190  298  139  59  44  4  377  240  332  247  435  207  126  475  441  106  363  164 
 386  425  350  89  295  213  321  162  82  66  27  400  263  355  270  458  230  149  476  2  129  187 
 152  409  448  373  112  318  236  344  185  105  88  50  423  265  378  293  19  253  172  477  25  210 
 48  175  432  9  375  135  341  259  367  208  128  110  73  446  288  401  316  42  276  195  478  233 
 479  71  177  455  32  398  158  364  282  390  231  151  132  96  7  311  424  339  65  299  218  256 
 241  480  94  200  16  55  421  181  387  305  413  254  174  154  119  30  334  447  362  67  322  279 
 345  243  481  117  223  39  78  444  204  410  328  436  277  197  176  142  53  357  8  385  90  302 
 113  368  266  482  140  246  62  101  5  227  433  351  459  300  199  198  165  76  380  31  408  325 
 431  136  391  289  483  163  269  85  124  28  250  456  353  20  323  222  220  188  99  403  54  348 
 77  454  159  414  312  463  186  292  108  147  51  273  17  376  43  346  245  242  211  122  426  371 
 449  100  15  182  437  335  464  209  315  131  170  74  296  40  399  45  369  268  264  234  145  394 
 168  10  123  38  205  460  358  465  232  338  133  193  97  319  63  422  68  392  291  286  257  417 
 280  191  33  146  61  228  21  381  466  255  361  156  216  120  342  86  445  91  415  314  308  419 
 330  303  214  56  169  84  251  23  404  467  278  384  179  239  143  365  109  6  114  438  337  442 
 360  352  326  237  79  192  107  274  46  427  468  301  407  202  262  166  388  111  29  137  461  3 
 244  267  290  313  336  359  382  405  428  451  12  35  58  81  104  127  150  173  196  219  221  484

Есть ли пары ортогональных диагональных ЛК 22-го порядка, пока не знаю. Если кто-то обнаружит или сам составит такую пару, сообщите. Тогда можно будет построить уже не полумагический (“хромой” на одну диагональ), а магический квадрат.
О других порядках серии n = 4k + 2 (кроме n = 10) тоже пока ничего не знаю. Статей получила кучу, да читать не умею.

[Aleks-Sid]

Всем, всем, всем!

Развил предыдущую мою статью на все виды магических квадратов. Название статьи "Красивый способ построения магических квадратов". http://renuar911.narod.ru/beautiful_ms.html

[Nataly-Mak]

Перехожу к построению магического квадрата 22-го порядка методом латинских квадратов. Поскольку диагональных ортогональных ЛК у меня нет, а есть только три штуки не диагональных, рассуждаю: неважно, что они не диагональные, главное, надо сделать так, чтобы сумма чисел в “хромой” диагонали была равна магической константе этого ЛК (если смотреть на него, как на нетрадиционный магический квадрат). Во всех трёх ЛК, которые есть в этой статье, неправильная только одна диагональ (то есть в ней есть повторяющиеся числа). Взяла ЛК, который приведён в предыдущем сообщении вторым. Только прибавила ко всем элементам 1 (кстати, в статье ЛК даны именно в таком виде – все элементы увеличены на 1). На преобразованиях магических квадратов я уже собаку съела ( см. “Преобразования магических квадратов”), любой МК могу так преобразовать, что его мама родная не узнает. Вот теперь добралась и до латинских квадратов. Надеюсь, авторы статьи, из которой я взяла эти ЛК, не будут предъявлять мне претензии за то, что я преобразовываю их латинские квадраты. Они их очень хорошо составили, но не собирались, видимо, строить с их помощью магические квадраты. Поэтому их ЛК оказались пригодными только для построения полумагических квадратов (что и показано выше), а для построения магических квадратов не пригодны.
Если вы посмотрите на ЛК, который представлен в предыдущем сообщении вторым (предварительно увеличив все элементы на 1), то увидите, что магическая константа этого квадрата (как нетрадиционного магического) равна 253, за исключением одной неправильной диагонали. Сумма чисел в этой диагонали равна 234. Придумала преобразование латинского квадрата. Не буду здесь описывать, в чём состоит это преобразование (это длинно), но ЛК преобразовала и получила полностью магический квадрат, то есть сделала так, что сумма чисел в неправильной диагонали тоже равна 253, хотя числа в ней, по-прежнему повторяются. Показываю полученный ЛК:

1 20 7 10 11 15 12 9 18 3 19 22 13 17 5 8 16 14 2 21 6 4
22 2 19 7 9 10 14 11 8 17 4 18 21 12 16 6 1 15 13 3 20 5
19 21 3 18 7 8 9 13 10 1 16 5 17 20 11 15 22 2 14 12 4 6
5 18 20 4 17 7 1 8 12 9 2 15 6 16 19 10 14 21 3 13 11 22
10 6 17 19 5 16 7 2 1 11 8 3 14 22 15 18 9 13 20 4 12 21
11 9 22 16 18 6 15 7 3 2 10 1 4 13 21 14 17 8 12 19 5 20
6 10 8 21 15 17 22 14 7 4 3 9 2 5 12 20 13 16 1 11 18 19
17 22 9 1 20 14 16 21 13 7 5 4 8 3 6 11 19 12 15 2 10 18
9 16 21 8 2 19 13 15 20 12 7 6 5 1 4 22 10 18 11 14 3 17
4 8 15 20 1 3 18 12 14 19 11 7 22 6 2 5 21 9 17 10 13 16
12 5 1 14 19 2 4 17 11 13 18 10 7 21 22 3 6 20 8 16 9 15
8 11 6 2 13 18 3 5 16 10 12 17 9 7 20 21 4 22 19 1 15 14
14 1 10 22 3 12 17 4 6 15 9 11 16 8 7 19 20 5 21 18 2 13
3 13 2 9 21 4 11 16 5 22 14 8 10 15 1 7 18 19 6 20 17 12
16 4 12 3 8 20 5 10 15 6 21 13 1 9 14 2 7 17 18 22 19 11
18 15 5 11 4 1 19 6 9 14 22 20 12 2 8 13 3 7 16 17 21 10
20 17 14 6 10 5 2 18 22 8 13 21 19 11 3 1 12 4 7 15 16 9
15 19 16 13 22 9 6 3 17 21 1 12 20 18 10 4 2 11 5 7 14 8
13 14 18 15 12 21 8 22 4 16 20 2 11 19 17 9 5 3 10 6 7 1
7 12 13 17 14 11 20 1 21 5 15 19 3 10 18 16 8 6 4 9 22 2
21 7 11 12 16 13 10 19 2 20 6 14 18 4 9 17 15 1 22 5 8 3
2 3 4 5 6 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 1 7

Теперь задача: надо составить второй латинский квадрат, ортогональный данному. Если это удастся сделать, то построение магического квадрата 22-го порядка методом латинских квадратов будет осуществлено.
Есть идеи?
Попробовала этот квадрат повернуть, отразить. Нет, ортогональный квадрат не получается.
Далее попробовала преобразовать точно так же другой ЛК (он в предыдущем сообщении представлен первым). Однако этот квадрат с ходу не преобразовывается. Надо до конца выполнить программу, в которой перебираются все перестановки из 22 чисел, но такая программа на моём компьютере будет три недели выполняться. Третий квадрат, который есть в статье, ещё не попробовала преобразовать. Может быть, с этим квадратом повезёт. Однако тут ещё вопрос: будут ли преобразованные квадраты тоже ортогональны, как исходные квадраты? Это ещё бабушка надвое сказала!
Итак, приглашаю всех принять участие в построении второго латинского (классического) квадрата, ортогонального представленному здесь латинскому квадрату. Диагональность не требуется, требуется, чтобы ЛК был нетрадиционным магическим квадратом (то есть суммы чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях были равны 253).
Вот название статьи, из которой я взяла ЛК:
Three mutually orthogonal idempotent Latin squares of orders 22 and 26 (R.J.R Abel и другие).

[Nataly-Mak]

Забыла спросить: Мапл не умеет ли строить ортогональный латинский классический квадрат к данному? Если нет, надо его научить! Ау, разработчики Мапла!
Если умеет, тогда кто-нибудь постройте, пожалуйста мне такой квадрат для приведённого исходного ЛК. Никак не установлю себе Мапл. Это сложно?

[voroninv]

Установить Maple не сложно, сложнее научиться им пользоваться, это можно сказать бесконечный процесс, как обучение какому-нибудь языку программирования

[Nataly-Mak]

Есть второй латинский квадрат!
Всё-таки получилось преобразовать представленный здесь ЛК. Бросила гонять программу и подобрала нужную перестановку простым подбором (вот вам и ответ на вопрос: может ли машина мыслить? Машина не умеет сделать элементарный подбор!). Вот он, второй классический латинский квадрат:

 1  18  17  16  12  5  10  6  14  2  21  22  15  7  11  13  3  19  9  8  4  20 
 3  20  19  18  17  13  6  11  9  15  5  1  22  16  21  12  14  10  7  4  2  8 
 5  10  8  7  19  18  14  9  12  4  16  6  20  22  17  1  13  15  11  21  3  2 
 10  6  11  2  21  7  19  15  4  13  3  17  9  8  22  18  20  14  16  12  1  5 
 20  11  9  12  5  1  21  7  16  3  14  10  18  4  2  22  19  8  15  17  13  6 
 14  8  12  4  13  6  20  1  21  17  10  15  11  19  3  5  22  7  2  16  18  9 
 19  15  2  13  3  14  9  8  20  1  18  11  16  12  7  10  6  22  21  5  17  4 
 18  7  16  5  14  10  15  4  2  8  20  19  12  17  13  21  11  9  22  1  6  3 
 9  19  21  17  6  15  11  16  3  5  2  8  7  13  18  14  1  12  4  22  20  10 
 8  4  7  1  18  9  16  12  17  10  6  5  2  21  14  19  15  20  13  3  22  11 
 22  2  3  21  20  19  4  17  13  18  11  9  6  5  1  15  7  16  8  14  10  12 
 11  22  5  10  1  8  7  3  18  14  19  12  4  9  6  20  16  21  17  2  15  13 
 16  12  22  6  11  20  2  21  10  19  15  7  13  3  4  9  8  17  1  18  5  14 
 6  17  13  22  9  12  8  5  1  11  7  16  21  14  10  3  4  2  18  20  19  15 
 7  9  18  14  22  4  13  2  6  20  12  21  17  1  15  11  10  3  5  19  8  16 
 2  21  4  19  15  22  3  14  5  9  8  13  1  18  20  16  12  11  10  6  7  17 
 21  5  1  3  7  16  22  10  15  6  4  2  14  20  19  8  17  13  12  11  9  18 
 4  1  6  20  10  21  17  22  11  16  9  3  5  15  8  7  2  18  14  13  12  19 
 13  3  20  9  8  11  1  18  22  12  17  4  10  6  16  2  21  5  19  15  14  7 
 15  14  10  8  4  2  12  20  19  22  13  18  3  11  9  17  5  1  6  7  16  21 
 17  16  15  11  2  3  5  13  8  7  22  14  19  10  12  4  18  6  20  9  21  1 
 12  13  14  15  16  17  18  19  7  21  1  20  8  2  5  6  9  4  3  10  11  22

Мои опасения, к счастью, не оправдались, преобразованные латинские квадраты оказались ортогональными. И теперь можно строить из полученной пары ортогональных латинских квадратов магический квадрат. Вот готовый магический квадрат:

1  436  149  214  232  313  252  182  388  46  417  484  279  359  99  167  333  305  31  448  114  86 
 465  42  415  150  193  211  292  231  163  367  71  375  462  258  351  122  14  318  271  48  420  96 
 401  450  52  381  151  172  190  273  210  4  346  94  372  440  237  309  475  37  297  263  69  112 
 98  380  429  68  373  139  19  169  246  189  25  325  119  338  418  216  306  454  60  276  221  467 
 218  121  361  408  93  331  153  29  16  223  168  54  304  466  310  396  195  272  433  83  255  446 
 234  184  474  334  387  116  328  133  65  39  208  15  77  283  443  291  374  161  244  412  106  427 
 129  213  156  453  311  366  471  294  152  67  62  187  38  100  249  428  270  352  21  225  391  400 
 370  469  192  5  432  296  345  444  266  140  108  85  166  61  123  241  407  251  330  23  204  377 
 185  349  461  171  28  411  275  324  421  247  134  118  95  13  84  476  199  386  224  308  64  362 
 74  158  315  419  18  53  390  254  303  406  226  137  464  131  36  107  455  196  365  201  286  341 
 264  90  3  307  416  41  70  369  233  282  385  207  138  445  463  59  117  434  162  344  186  320 
 165  242  115  32  265  382  51  91  348  212  261  364  180  141  424  460  82  483  413  2  323  299 
 302  12  220  468  55  262  354  87  120  327  191  227  343  157  136  405  426  105  441  392  27  278 
 50  281  35  198  449  78  228  335  89  473  293  170  219  322  10  135  378  398  128  438  371  257 
 337  75  260  58  176  422  101  200  314  130  452  285  17  177  301  33  142  355  379  481  404  236 
 376  329  92  239  81  22  399  124  181  295  470  431  243  40  174  280  56  143  340  358  447  215 
 439  357  287  113  205  104  44  384  477  160  268  442  410  240  63  8  259  79  144  319  339  194 
 312  397  336  284  472  197  127  66  363  456  9  245  423  389  206  73  24  238  102  145  298  173 
 277  289  394  317  250  451  155  480  88  342  435  26  230  402  368  178  109  49  217  125  146  7 
 147  256  274  360  290  222  430  20  459  110  321  414  47  209  383  347  159  111  72  183  478  43 
 457  148  235  253  332  267  203  409  30  425  132  300  393  76  188  356  326  6  482  97  175  45 
 34  57  80  103  126  479  458  437  403  395  353  350  316  288  269  248  229  202  179  164  11  154

Итак, магический квадрат 22-го порядка построен из пары не диагональных ортогональных латинских квадратов.
Теперь уже точно можно сказать, что для построения магических квадратов порядков
n = 4k + 2 (k>1) примени'м метод латинских квадратов.
Пока не имею никаких классических латинских квадратов 14-го и 18-го порядков. Надо искать.
***
Насчёт Maple спасибо. Надо попробовать установить. А пользоваться ведь не всеми возможностями придётся. Кому-то надо решать системы, кто-то считает интегралы, а мне вот надо составлять ортогональные латинские квадраты. Хотя иногда и системы приходится решать.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

В Мапле что-то неясно. Там только тест на ортогональность. Я проверил Ваши латинские квадраты 9х9 (они в начале этой страницы) и по тесту (это команда IsOrthogonal(A,B);) ответ получился "ложь". Такое ощущение, что понятие ортогональности понимается по-разному в нашей кухне и чисто математической.
Строгое определение: квадратная матрица A, для которой обратная матрица равна транспонированной, называется ортогональной матрицей. Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице; сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.

[voroninv]

Nataly-Mak в сообщении #167603 писал(а):

мне вот надо составлять ортогональные латинские квадраты

К сожалению ничего не знаю о возможностях Maple в этой области. Может может, а может и нет.

[Nataly-Mak]

Как мне сказали, Maple умеет строить группы взаимно оргогональных классических латинских квадратов для порядков равных простому числу или степени простого числа. Мне прислали такие группы для порядков 7, 8, 9. Я их очень внимательно изучила. Интересные группы! Дают оригинальные магические квадраты.
Кто с Maple на "ты", скажите, пожалуйста, он умеет строить только одну группу для каждого конкретного порядка? Очень хотелось бы посмотреть на другую группу попарно ортогональных классических латинских квадратов порядка 8. Чем она отличается от той, что у меня уже есть? Если эти отличия существенны, то это даст новую группу магических квадратов.
И ещё желательно получить ответ на вопрос: может ли Maple построить ортогональный латинский квадрат к данному. У меня тут была такая задача для ЛК 22-го порядка, но я её уже решила (пара ортогональных латинских квадратов найдена).