Существует ли т.н. математическая интуиция?

[Утундрий]

Давайте проверим!

Итак, максимально не поставленная задача:

Цитата:

Вычислить приближение числа $\pi$ при помощи грубого представления синуса и некоего вариационного принципа.

Требуется: задачу допоставить, решить и привести искомое приближение с любой разумной точностью.

[waxtep]

Три! А если надо грубо, то, три, нафиг!
Это кажется про математическую смекалку (или житейскую решительность), не про интуицию, нет?

[sergey zhukov]

waxtep
Вариационный принцип еще нужно добавить. Т.е. где-то 3...4.

[ozheredov]

Кибер-буллинг пользователя Утундрий has begun......

[Cos(x-pi/2)]

Ну, раз упомянули синуса, тоже наинтуичу (сынтуичу, взынтуичу, отынтуичу (уж как получится)). Синус это ведь косинус, только он того... сдвинутый по фазе. Записываю несколько первых членов ряда Тейлора для $\cos(x):$

$$f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}$$

И говорю грубо: "любой дурак знает, что при пи пополам косинус равен нулю". Найдя из графика (ну или ещё как-то) вблизи значения $1.5$ корень $x_1$ уравнения $f(x)=0,$ получаю после округления до двух цифр после десятичной запятой: $2\,x_1= 3.14.$

[Утундрий]

Вот, это уже разговор! Но где же тут вариационный принцип? И грубости в разложении я как-то не наблюдаю. Всё, напротив, до тошноты гладко.

[Cos(x-pi/2)]

Ну тут как бы вот такой "вариационный принцип" при желании можно пытаться натянуть (притянуть и т.п.): косинус это ведь производная синуса. Выходит, приравняли нулю-то производную синуса - а это значит ищем у синуса экстремум :)

[Утундрий]

Попытка засчитана, результат — нет. При всей неоднозначности темы всё же не следует игнорировать условия задачи. Пусть даже и столь скверно поставленной.

[Cos(x-pi/2)]

Ok. Присоединяюсь к ожидающим интересного результата.

[mihiv]

Решение одномерного уравнения Шредингера для прямоугольной потенциальной ямы ширины 1 с бесконечно высокими стенками при определенном выборе единиц имеет вид:$\psi (x)=\sin \pi x \eqno (1)(U(x)=0, 0<x<1) $(основное состояние).
Энергия основного состояния при этом: $E_0=\pi ^2$
Энергию основного состояния можно приближенно искать с помощью вариационного принципа:$$E_0=\min \limits _{\psi (x)} \dfrac {\int \psi (x)p_x^2\psi (x)dx}{\int \psi (x)\psi (x)dx}\eqno (2)$
Точное значение энергии основного состояния получим при подстановке в (2) функции (1).
Если же выбрать пробную волновую функцию,например, в виде $\psi (x)=x(1-x)$, то подставив ее в (2), получим

$$E_0=\pi ^2 \approx 10$$

или $\pi \approx 3.16$

[Cnupm]

Утундрий
ИИ спрашивали?

[Cos(x-pi/2)]

mihiv
Спасибо. Ваша идея красивая!

Заодно Вашу пробную функцию попробовал усложнить зависимостью от параметра $a$ (как и у Вас, пробная функция обращается в ноль на концах отрезка $0<x<1$ и является чётной относительно его середины): $\psi (x)=x(1-x)+a(x(1-x))^2.$ Из уравнения

$$\frac{dE_0(a)}{da}=0$$

получилось значение параметра приблизительно равное $a_1=1.13,$ и оценка дли пи стала такой:

$$\sqrt{E_0(a_1)}=3.1416.$$

(Просто интересно было посмотреть, как улучшится приближение к пи с такой пробной функцией; понимаю, что при этом требуемой топикстартером "грубости" уже нет.)

[drzewo]

Совсем необязательно высасывать задачу на математическую интуицию из пальца. Вот задача, которая возникла совершенно естественным путем:

drzewo в сообщении #1650464 писал(а):

Уравнения движения приобретают вид

$$\boldsymbol{\dot d}=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol d],\quad I\boldsymbol {\dot \omega}=[\boldsymbol d,\boldsymbol B]$$

Конкретная система дифференциальных уравнений. Просто опишите ее траектории, разберитесь как она себя ведет. Ничего кроме математических способностей для этого не нужно. Математик -- это не список прочинанных им книжек или курсов, это список решенных им задач.

[Утундрий]

drzewo
Некрасиво это — чужую тему захватывать.

[drzewo]

Извините.