То есть
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
независимы. Это, конечно, меняет дело. Вероятность
![$P(B)$ $P(B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f540bd123ed34dd8062b411239b9195582.png)
найти можно, кроме случая, когда
![$P(A \cap B) = 0$ $P(A \cap B) = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2a2b86869fb721daf37da8e728cfc5882.png)
и
![$P(A \supset B) = 1$ $P(A \supset B) = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/e/b8e796df372e747c7f191c9ac188ca5b82.png)
(то есть когда
![$P(A) = 0$ $P(A) = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de8da9586f8cd46e4493503173170cb82.png)
).
К сожалению, это не так. Случай, когда
![$P(A \cap B) = 0$ $P(A \cap B) = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2a2b86869fb721daf37da8e728cfc5882.png)
и
![$P(A \supset B) = 1$ $P(A \supset B) = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/e/b8e796df372e747c7f191c9ac188ca5b82.png)
как раз имеет решение (хотя и не единственное), но возможны другие значения
![$P(A \cap B)$ $P(A \cap B)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/b/4db28fcf6132387c43ee24422a1bc5db82.png)
и
![$P(A \supset B)$ $P(A \supset B)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/f/91f5b60fd7e47371ca3c4e8f163e4e1682.png)
, при которых задача решения не имеет. Но ближе к делу.
Схема решения данного варианта обратной задачи теории вероятностей такова.
1) Заданные формулы исчисления высказываний преобразуются в ортогональные ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма), т.е. в ДНФ, у которых любая пара конъюнктов не имеет общих выполняющих подстановок. Задача преобразования произвольной дизъюнкции в ортогональную ДНФ решена П.С. Порецким в 1887 г. (Порецкий П.С. Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики.- Собрание протоколов заседаний секции физико-математических наук общества естествоиспытателей при Казанском университете. Казань: 1887. Т.5. С.83-116). Задача преобразования любой формулы (более точно произвольных ДНФ или КНФ) исчисления высказываний в ортогональную ДНФ решена Ю.В. Мерекиным в 1963 г. (Мерекин Ю.В. Решение задач вероятностного расчета однотактных схем методом ортогонализации // Вычислительные системы. Сборник трудов Института математики СО АН СССР. 1963. Вып.4. С.10-21).
Пример: формулу
![$X \supset Y$ $X \supset Y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/5/7450316fd4e012f293686c6f4615531382.png)
можно преобразовать в ортогональную ДНФ
![$ \neg X \vee (X \wedge Y)$ $ \neg X \vee (X \wedge Y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e77521afd5a0cb9dc5d72716e19ac582.png)
.
2) Используя ортогональные ДНФ, формируем вероятностные полиномы. Для этого переменные в логических формулах заменяем обозначениями вероятностей единичных событий, связку
![$\vee$ $\vee$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/9/fd925eff76f375c2bf103304b13a5b3582.png)
заменяем на знак суммы
![$+$ $+$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df33724455416439909c33a7db76b2bc82.png)
, а связку
![$\wedge$ $\wedge$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/2/27290dc895d845aaaa0cf6cd9efb862f82.png)
на знак умножения
![$\times$ $\times$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/b/bdbf342b57819773421273d508dba58682.png)
. При этом
![$\neg X$ $\neg X$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/3/2931b9c1ebd826e89c17c2bed77fbfc082.png)
заменяем на
![$1 - P(X)$ $1 - P(X)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/c/e3c7c11d9bbadcd99b77889f1f85875b82.png)
.
Пример: обозначим
![$P(X)$ $P(X)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/1/e01ded0de4f3052fc9ca35ce5f37c2e482.png)
-
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$P(Y)$ $P(Y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/a/ceafea1ed40f35121b76a5e2cc42e6d282.png)
-
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
. Тогда ортогональную ДНФ
![$ \neg X \vee (X \wedge Y)$ $ \neg X \vee (X \wedge Y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e77521afd5a0cb9dc5d72716e19ac582.png)
можно преобразовать в вероятностный полином
![$1-x+(x \times y)$ $1-x+(x \times y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a45b794fbc2e0912b2f1cde8d03342582.png)
.
3) Решить систему уравнений, выраженных вероятностными полиномами, с учетом следующих ограничений: величина переменных должна находиться в интервале
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Рассмотрим пример. Пусть
![$P(A \supset B) = C$ $P(A \supset B) = C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/5093a1e54ed922d6b4b7fecb8893aec282.png)
и
![$P(A \cap B) = D$ $P(A \cap B) = D$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e44aeba34e424ca7c4980d5ad840ad2f82.png)
. Обозначим
![$P(A)$ $P(A)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a900fc42abad5f1a1acd2dcbe8475f2082.png)
-
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$P(B)$ $P(B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f540bd123ed34dd8062b411239b9195582.png)
-
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
. Тогда получим следующую систему уравнений:
![$1-x + x \times y = C$ $1-x + x \times y = C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/9345e85713f3a87f3e719112bc49827282.png)
;
![$x \times y = D$ $x \times y = D$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/8/e9873f3ec97d2bed545d4cb8ce2f954582.png)
.
Решая систему уравнений, получаем
![$x = P(A) =1 + D - C$ $x = P(A) =1 + D - C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/f/c4feaeba67688e7ac576d00bc2b4e1e182.png)
;
![$y = P(B) = \frac D {1+D-C}$ $y = P(B) = \frac D {1+D-C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/2/c829bef5a989af1f82c4a73e4636855e82.png)
.
Единственное ограничение в этом примере:
![$D \leq C$ $D \leq C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/0/040734bd65837d11b2b7a46dc0428ccb82.png)
, в противном случае значение
![$P(A)$ $P(A)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a900fc42abad5f1a1acd2dcbe8475f2082.png)
превысит единицу.
Рассмотрим частный случай, который собеседник
dgwuqtj рассматривает как исключение:
![$P(A \supset B) = C =1$ $P(A \supset B) = C =1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/4/144e79a33748af554748d6e9df7be9dd82.png)
и
![$P(A \cap B) = D = 0$ $P(A \cap B) = D = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/1/b418b799e84deb19adfd9eb8ec840baf82.png)
.
Из
![$x = P(A) =1 + D - C$ $x = P(A) =1 + D - C$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/f/c4feaeba67688e7ac576d00bc2b4e1e182.png)
получаем
![$P(A) = 0$ $P(A) = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de8da9586f8cd46e4493503173170cb82.png)
, в то же время при вычислении
![$P(B)$ $P(B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f540bd123ed34dd8062b411239b9195582.png)
получается крупная неприятность
![$P(B) = \frac {0} {0}$ $P(B) = \frac {0} {0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/d/fad3f5ba62dabda580574ec5852c55b382.png)
(!!!)
Мы знаем, что на ноль делить нельзя, поэтому пока непонятно, чему равно
![$P(B)$ $P(B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f540bd123ed34dd8062b411239b9195582.png)
. Для ответа вернемся к уравнениям, подставив в них
![$C = 1$ $C = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/a/36a2bb460655aa375194033d955dc30f82.png)
,
![$D = 0$ $D = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e404cee7d8e0706e152895c3836d42082.png)
и
![$x = 0$ $x = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/3/2f3c8b04b987706450f80c5b0c2619d482.png)
. Тогда получается, что при любом значении
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
равенства в уравнениях не нарушаются. Отсюда ясно, что задача решается при
![$P(A) = 0$ $P(A) = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de8da9586f8cd46e4493503173170cb82.png)
и любом значении
![$P(B)$ $P(B)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f540bd123ed34dd8062b411239b9195582.png)
в интервале
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Алгоритм и другие примеры решения обратной задачи теории вероятностей можно найти в
статье Б.А. Кулика. К сожалению, там недостаточно четко определено пространство событий, но подразумевается именно то, которое в этой дискуссии было ранее сформулировано мною после замечаний.