Вот в этой фразе рассматривается полная энергия падающей в дыру сферы. Но в разных точках сферы разное касательное пространство и разные тензора. Напрямую их складывать нельзя. Как суммировать их энергию?
Так, начнём с того, что это абсолютно верно подмечено: Складывать компоненты векторов или тензоров, находящихся в разных точках пространства-времени, нельзя. А что же делать? Ведь скалярную плотность как-то интегрируют, и ничего. А это потому что находящиеся в разных точках пространства-времени скаляры складывать вполне можно. Значит для начала нужно получить из имеющихся у нас векторов и тензоров скалярные величины. Для этого существует такая вещь, как "система отсчёта", коя предназначена как раз для того, чтобы определить, как именно мы будем "отсчитывать" разные глобальные величины (т.е. определённые не только в точке). От "удалённого наблюдателя" оная система отсчёта отличается в первую очередь тем, что она находится не в одной удалённой точке, как наблюдатель, а основана на понятии
распределённого "тела отсчёта" (реального или воображаемого).
На этом давайте прервёмся и приведём пример. Все мы знаем, что "скорость" (движения материальной точки) является величиной, зависимой от выбора "системы отсчёта". Так как же она определяется? А определяется она, как производная проходимого точкой расстояния (в заданном направлении) по местному времени. Если мы применим это определение к движению материальной точки в пространстве-времени, скажем, определяющимся тем же решением Шварцшильда, то должны заметить, что понятия "проходимого расстояния" и "промежутка местного времени" отличаются от изменений соответствующих координат. Вот в этом и проявляется действие "системы отсчёта": Мы отсчитываем время не как произвольно выбранную координату, а по часам, и расстояния - тоже не по произвольно выбранной координате, а линейкой (например, радаром). Зная скорость, можно посчитать другую зависимую от выбора системы отсчёта величину - кинетическую энергию этой материальной точки. И хотя мы привыкли, что энергия - нулевая компонента четырёхвектора, но посчитанная относительно заданной системы отсчёта величина будет уже скаляром, т.е. глобальной величиной, которую можно складывать, хотя она и задана в разных точках. Как так могло получиться? Секрет можно раскрыть, погуглив термин "тетрада".
Нетрудно заметить, что посчитанная таким образом кинетическая энергия сферического пылевого слоя, падающего на горизонт событий, будет только нарастать, при приближении к горизонту обращаясь в бесконечность. Откуда же берутся соображения о том, что она на горизонте обращается в нуль? А дело в том, что некоторые считают за "скорость" производную радиальной Шварцшильдовской координаты по временной Шварцшильдовской координате, иногда даже именуя это "скоростью с точки зрения удалённого наблюдателя" (очевидно, потому что эти координаты для удалённого наблюдателя совпадают с показаниями его часов и линеек). Эта величина будет стремиться к нулю по той причине, что удалённый наблюдатель никогда не увидит прохождение телом горизонта, а значит он видит, как тело при приближении к горизонту якобы замедляется. Но каков физический смысл такой "энергии с точки зрения удалённого наблюдателя" и в каком смысле её можно интегрировать по пространственному объёму, пусть разбираются те авторы, которые предлагают это понятие.
решения Шварцшильда для наблюдателя, который благоразумно находится далеко от дыры.
