Как правильно определить работу силы по траектории (пути)?
Будем считать, что у нас есть некоторая траектория
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
и некоторая сила
![$\vec{F}$ $\vec{F}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e542f84ff6a79def15ac7917bec74ec82.png)
, заданная на этой траектории (пути). Вне этой траектории она возможно и не задана. Я нашёл три разных подхода к определению работы силы на эт
Ну в самом общем виде работа определяется так. Пусть имеется механическая система (с идеальными связями или без них), с конфигурационным многообразием
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
на котором опркеделены локальные координаты
![$x=(x^1,\ldots,x^m)^T$ $x=(x^1,\ldots,x^m)^T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/e/41e88a8804b3cf0e7ea5b4b0d5be840782.png)
. В системе действует обобщенная сила
![$Q_i(t,x,\dot x):$ $Q_i(t,x,\dot x):$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/e/dbe3e418cfee5909d9db2986c4540e0582.png)
Если система движется по закону
![$x(t)$ $x(t)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/2/f92a2fed82f1dacdec6e4d5a05fbbf9782.png)
то работа силы на интервале времени
![$[t_1,t_2]$ $[t_1,t_2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/c/9dcc4c03e1c70fde076af7f0546a87e682.png)
определяется так:
![$$A=\int_{t_1}^{t_2}Q_i(t,x(t),\dot x(t))\dot x^i(t)dt.$$ $$A=\int_{t_1}^{t_2}Q_i(t,x(t),\dot x(t))\dot x^i(t)dt.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/9/cb992bb9682133140b86a3b707894f4f82.png)
Если обобщенная сила не зависит от времени и скростей, то данный интеграл превращается в интеграл от дифференциальной формы по соответствующей траектории:
![$$ A=\int_\gamma Q_i(x)dx^i.$$ $$ A=\int_\gamma Q_i(x)dx^i.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/0/a70b9a976c6bff6473964b741066d49182.png)
Важно, что в этом последнем случае работа превращается в чисто геометрический объект: инеграл от дифференциальной формы не зависит от способа параметризации кривой, только от направления